integraler

Beräkna arean av det skuggade området

y=1/x

Integral, -1 uppe och -3 nere. Sen [ln x] -1 uppe och -3 nere. Sen F(b) - F(a) = ln -1 - ln -3 = ln 2? (-3-(-1))

Men svaret är ln 3

a = -3
b = -1

y(x) = 1/x
F(x) = ln x

Integralen blir
F(a) - F(b) = ln |a| - ln |b| = ln a/b = ln -3/-1 = ln 3

Du kan inte logaritmera ett negativt tal så du måste använda absolutbeloppen eller använda logaritmlagarna som ovan för att göra talen positiva (-3/-1 ger 3). Fast som du ser fungerar det även att ta absolutbeloppen då ln 3 - ln 1 är samma sak ln -3/-1.

Ser nu att det var främst logaritmlagarna du inte förstod.

Logaritmlagen i fråga ser ut som följer:
ln (A/B) = ln A - ln B

ln är inte definierat för negativa tal. Och du kan förövrigt inte ta ln(x) + ln(y) = ln (x+y).

Men absolutbeloppet av arean du söker i intervallet (-1,-3) kommer under kommer var desamma som arean i intervallet (1,3) i detta fallet, blir uppenbart om du rita ut grafen y=1/x.

Så du får ln3 - ln1. Och ln1 = 0 Så svaret blir ln3


edit nån svarade före mig och på ett mycket bätre sätt.

Med den ordning du valt på integrationsgränserna borde svaret i själva verket bli -ln 3. Detta är även konsistent med grafens utseende (ligger under x-axeln i det aktuella intervallet). Area är dock per definition positiv, så i detta fall får du helt enkelt ta absolutbeloppet av integralen (eller vända på gränserna).