diff. ekv. teorem

I min bok ska de lösa följande diff. ekv. : dy/dx = x^2y

Det första steget de gör är: Om y != 0 så gäller dy/y = x^2dx (gäller ju inte egentligen rent matematiskt men ni förstår)

Sedan skriver de följande: "If a solution y is a function that satisfies y(x) != 0 for some x, it follows from a uniqueness theorem for solutions of differential equations that y(x) != 0 for all x."

Vad menar de med detta? Om tex. y = x skulle visa sig vara lösning (där y = tex. 5 existerar) så kan vi dra slutsatsen att y = 0 inte är en lösning? Har jag förstått det rätt?

Gäller detta för andra värden än noll?

Det som menas är att att om y(x) är en lösning till ekvationen och vi har att y(a) = 0 för något a, så måste det gälla att y(x) = 0 för alla x. Den säger alltså inget om de andra lösningarna.

Alltså vi kan inte ha en lösning så att y(1) = 5 och y(2) = 0 exempelvis, utan om vi vet att y(2) = 0 så måste även y(1) = 0. Detta följer av unikhet hos lösningarna.

Om man löser din ekvation så får man att lösningarna är y(x) = Ce^(x^3/3). Notera att det är endast y = 0 som någonsin antar värdet 0.

Men detta kan ju inte stämma. Diffekvationen dy/dx = x^2/y^2 har en massa lösningar, en utav de är y = x. Den lösningen antar ju f(0) = 0 men även tex. f(5) = 5. Tänker jag fel?


Förstår inte alls, för det jag skrev ovan innebär ju motsatsen.

dy/dx = x^2/y^2 uppfyller inte villkoren i unikhets satsen så den kan du inte tillämpa här, det är Lipschitz villkoret den inte uppfyller (åtminstone inte runt 0). Differentialekvationen du skrev från början dy/dx = x^2y uppfyller däremot kraven.