Matteuppgift om planeters omloppstid- matte 3

Mellan planeternas omloppstider T år och deras avstånd x jordbaneradier till solen finns ett enkelt samband T=x^(1,5)

Beräkna och tolka T`(0,723)?

Ändringskvoten är väl T(x)/x och inte tvärtom vilket betyder att svarets enhet kommer vara år/jordbaneradier men vad betyder det egentligen?

omloppstiden T(x), x jordbaneradier

T` blir ju hur snabbt planeten färdas kring solen då, i någon sorts vinkelhastighet?

Om x är avståndet från solen uttryckt i jordbaneradier, dvs om x = 1 så är det jorden vi talar om, och T(x) är en planets, på avståndet x jordradier från solen, omloppstid i år. Hur ska du tolka T(0,723)?
x=0,723 och vad är T? Beräknar du den så får du T(0,723) = 0,723^3 = 0,377.

För Jorden får du x=1 och T(1) = 1 (år)

Kan tillägga att det handlar om Venus. Men här var det T'(x) det frågades efter, inte T(x).

För övrigt så är detta en variant av Keplers tredje lag, där variablerna egentligen är a och P.
Så, P=a^(1.5).

Det handlar om Venus hastighet runt solen.

Du kan översätta detta i vilket system du vill och då se att P(a) = (GM/4a(pi)²)^(1.5)
Där M är den sammanlagda massan för de två kropparna.

Edit. Vänta här a(P)=P^(2/3) borde det ju vara... Nu är jag trött!

Derivera T = x ^ 1.5
så får du:
T'= 1.5x^0.5
Sätt in 0.723
Och du får 1.275
Detta är planetens hastighet då avståndet till solen är 0,723 jordbaneradier

Japp

Uppenbarligen innehåller den ursprungliga ekvationen en ej redovisad konstant med numeriska värdet 1 och dimensionen [år] * [au]^(-3/2). Derivatan får därmed dimensionen [år] * [au]^(-1), vilket är inversen till hastighet.
(au=astronomisk enhet, jordbanans genomsnittsradie)

Dimensionsanalys är inget som tas upp i kursen matte 3 så även om ditt svar är vettigt så tvekar jag på att det hjälper TS.

Om det är enheterna du undrar över så är Keplers tredje lag en proportionalitet.

x i den här uppgiften är den halva storaxeln (a) i Keplers tredje.

Ni kan glömma det jag skrev om Keplers tredje igår. Jag vet inte varför den halva storaxeln hamnade i nämnaren, får skylla på trötthet.

p² = a³*(GM/4π²)

Fast GM/(4n^2) är väl Newtons utveckling av den. P^2=a^3 är keplers tredje lag. Är lite ringrostig några år sen man tog examen på teknisk fysik nu..hehe

Jo, det är sant. Så ringrostig var du inte!

Dock kallas även den allmänna formeln för Keplers tredje lag.