Varför fungerar inte den här ansatsen för den här differentialekvationen?

Jag förstod att "lösningen" 1 = 0 innebar att ansatsen var fel, jag förstod bara inte riktigt varför den var fel eftersom den alltid har fungerat i tidigare liknande exempel.
Men i det här fallet så berodde det ju som sagt på att min ansats var identisk med den homogena lösningen, som Rulao påpekade.

Haha, nu tar du väl inte i en aning?
Man kan väl inte få underkänt på en hel uppgift bara för att man använder likhetstecken på "fel sätt" som i mitt exempel?
Jag kan gissa att stegen som jag hade utfört på bilden skulle generera kanske 2 poäng på en 5-poängsfråga.

Men visst, som sagt, min första ansats var fel i det här fallet, eftersom den ju gav precis samma lösning som den homogena lösningen, och därmed inte tillförde någonting till ekvationen överhuvudtaget.

Differentialekvationen y'' + 9 y = sin 3x kan skrivas (D+i3)(D-i3)y = sin 3x, där D är deriveringsoperatorn, Dy = y' och i är imaginära enheten.

Nu gäller att D+a = e^(-ax) D e^(ax), där "faktorerna" ska appliceras åt höger en i taget:
e^(-ax) D e^(ax) y = e^(-ax) D (e^(ax) y) = e^(-ax) (a e^(ax) y + e^(ax) y') = a y + y'
= D y + a y = (D+a) y.

Alltså kan differentialekvationen skrivas
e^(-i3x) D e^(i3x) e^(i3x) D e^(-i3x) y = 1/(i2) * (e^(i3x) - e^(-i3x)),
där Eulers formel har använts för att skriva om cos 3x som exponentialfunktioner.

Efter multiplikation av föregående ekvation med e^(i3x) erhålles
D e^(i3x) e^(i3x) D e^(-i3x) y = 1/(i2) * (e^(i6x) - 1)

Eftersom vi har D längst till vänster är nästa steg att antiderivera:
e^(i3x) e^(i3x) D e^(-i3x) y = 1/(i2) * (e^(i6x) / (i6) - x) + A,
där A är en integrationskonstant.

Multiplicera med e^(-i6x) för att få bort e^(i3x) e^(i3x) från vänsterledet:
D e^(-i3x) y = 1/(i2) * (1/(i6) - x e^(-i6x)) + A e^(-i6x)

Nu antideriverar vi igen:
e^(-i3x) y = 1/(i2) * (x/(i6) - x/(-i6x) e^(-i6x) - (1/36) e^(-i6x)) + A/(-i6) e^(-i6x) + B,
där B är en ny integrationskonstant och vi har använt partiell integration för att antiderivera x e^(-i6x).

Slutligen multiplicerar vi med e^(i3x) och skriver om via Eulers formel:
y = 1/(i2) * (x/(i6) e^(i3x) - x/(-i6x) e^(-i3x) - (1/36) e^(-i3x)) + A/(-i6) e^(-i3x) + B e^(i3x)
= x/6 * (-1/2) * (e^(i3x) + e^(-i3x)) + (-1/(i72) + A/12) e^(-i3x)) + B e^(i3x)
= -x/6 * cos 3x + A' cos 3x + B' sin 3x,
där A' och B' är några konstanter.


När man använder den här metoden kan man enkelt se varför x dyker upp som en faktor:
Vi hade e^(-i3x) D ... = 1/(i2) * (e^(i3x) - e^(-i3x)).
Efter multiplikation med e^(i3x) får vi D ... = 1/(i2) * (e^(i6x) - 1).
Ettan dök här upp för att vi hade e^(-i3x) i både vänster- och högerled.
När vi sedan antideriverar ettan får vi x.

På samma sätt dyker x upp när karakteristiska ekvationen har en dubbelrot.

När karakteristiska ekvationen har två olika rötter r1, r2 kan differentialekvationen skrivas
(D-r1)(D-r2) y = 0.

Genom D+a = e^(-ax) D e^(ax) kan vi skriva detta som
e^(r1 x) D e^(-r1 x) e^(r2 x) D e^(-r2 x) y = 0

Stegvis lösning av ekvationen:
D e^(-r1 x) e^(r2 x) D e^(-r2 x) y = 0
e^(-r1 x) e^(r2 x) D e^(-r2 x) y = A
D e^(-r2 x) y = A e^((r1-r2) x)
e^(-r2 x) y = A e^((r1-r2) x) / (r1-r2) + B
y = A e^(r1 x) / (r1-r2) + B e^(r2 x)

Vi får alltså en linjärkombination av e^(r1 x) och e^(r2 x).

Här har vi dock inte tänkt på möjligheten att r1 = r2 = r som vi fr.o.m. tredje steget får
D e^(-r x) y = A
e^(-r x) y = A x + B
y = A x e^(r x) + B e^(r x)

Vi får alltså en linjärkombination av e^(r x) och x e^(r x).

Måste fråga vad du menar här, ser inte något fel i att göra ett antagande för att sedan komma till en motsägelse. Skulle du exempelvis underkänna det vanliga beviset för att roten ur 2 är irrationellt? Där man börjar med något liknande: antag att sqrt(2) = p/q ?