Tunneleffekten

Hur räknar man ut sannolikheten för att tunneleffekten inträffar?

Det kanske är lättast om ni börjar med att ignorera tiden och bara räkna med en spatial dimension etc, men ni får gärna förklara mer komplicerade också.

Sedan skulle jag vara väldigt tacksam om ni tog med ett exempel där ni räknar ut sannolikheten och redovisar det för mig.

Tack på förhand!

Har du provat att gå till biblioteket och låna en bok i grundläggande kvantmekanik?

Vilka förkunskaper har du? Vet du hur man löser schrödingerekvationen för endimensionell partikel i låda?

Nej, jag har inte läst någon bok o kvantmekanik och mina förkunskaper är nästintill noll. Snälla, hjälp mig ändå Jag försökte läsa på Internet om tunneleffekten, men jag förstod inte hur jag skulle göra

Vi kan ju ta det nästan enklast möjliga exemplet: en fri partikel med energi E inkommer mot en barriär med höjden U. Jag tar det i ganska snabba steg för att det inte ska bli för långt.

Schrödingerekvationen beskriver hur en partikels vågfunktion psi varierar i rummet och tiden. Den fysikaliskt intressanta storheten är kvadraten av absolutbeloppet av vågfunktionen |psi(x)|^2 som anger sannolikheten att finna partikeln i position x. I detta fall antar vi att vi inte har något tidsberoende och då blir schrödingerekvationen i en dimension

-hbar^2/(2m)*psi'' + U*psi = E*psi

där hbar =1.05*10^(-34) Js är Plancks konstant och '' betecknar andraderivatan (m a p positionsvariabeln x). Antag att barriären finns mellan x=0 och x=w. För x < 0 och x > w är U = 0 och för x < 0 får vi

-hbar^2/(2m)*psi'' = E*psi

med lösning

psi1 = A*exp(i*k1*x) + B*exp(-i*k1*x)

där

k1 = sqrt(2*m*E)/hbar. Lösningarna utgörs av plana vågor som färdas åt höger, A*exp(i*k1*x), och vänster, B*exp(-i*k1*x). Dessa är alltså inkommande strålning med intensitet |A|^2 och reflekterad strålning med intensitet |B|^2.

Eftersom U > E blir schrödingerekvationen inuti barriären

hbar^2/(2m)*psi'' = (U-E)*psi

med lösningen

psi2 = C*exp(k2*x) + D*exp(-k2*x).

där k2 = sqrt(2*m*(U-E))/hbar.

Dessa är inte längre oscillerande vågliknande lösningar utan exponentiellt växande/avtagande.

På höger sida om barriären, x>w, får vi en utgående stråle

psi3 = E*exp(i*k1*x).

Hur ska vi nu finna amplituderna A, B, C, D, E? Jo dessa lösningar måste 'passa ihop' vid gränsytorna x=0 och x=w. Vi måste ha

psi1(0) = psi2(0)
psi1'(0) = psi2'(0)

och

psi2(w) = psi3(w)
psi2'(w) = psi2'(w).

Stoppar vi in våra lösningar fås

A+B = C+D
i*k1*(A-B) = k2*(C-D)
C*exp(k2*w)+D*exp(-k2*w) = E*exp(i*k1*w)
k2*(C*exp(k2*w)-D*exp(-k2*w)) = i*k1*E*exp(i*k1*w).

Det vi är intresserade är kvoten av transmitterad amplitud |E|^2 och inkommande amplitud |A|^2. Delar man alla ekvationer med A så kan man lösa för E/A (eftersom man har fyra ekvationer och fyra obekanta) och till slut transmissionsamplituden T = |E|^2/|A|^2 som kan skrivas

T = (2*k1*k2)/((k1^2+k2^2)^2*sinh^2(k2*w)+(2*k1*k2)^2).

och om barriären är ganska bred så att k2*w>>1 kan vi förenkla detta till

T = (4*k1*k2/(k1^2+k2^2))^2*exp(-2*k2*w) = 16*(E*(U-E)/U)*exp(-2*k2*w)

Låt oss nu ta lite värden som är rimliga. Låt U = 5 eV (typisk energibarriären för en elektron att ta sig lös ur en metall), E = k_B*T = 0.01 eV en typisk termisk energi vid halvlåga temperaturer, w = 1 nm vilket är ett typiskt avstånd från provet till 'läshuvud' i ett skanningstunnlingsmikroskop (STM), och m = 9.1*10^(-31) kg vilket är massan för en elektron. Med dessa värden är U>>E så att vi får

T = 16*E/U*exp(-2*k2*w) = 3*10^(-12)

alltså så är det en försvinnande liten del som tunnlar igenom barriären. Notera dock att om vi ändrar avståndet till w = 0.9 nm så blir tunnelsannolikheten 10 ggr större! Denna känslighet utnyttjas i STM. I STM lägger man dock en spänning V över 'barriären' vilket ger en energi ~ E = e*V som 'driver' tunnlingen. Med V = 3 V och E=eV fås T = 1*10^-6 vid w=1 nm och T = 0.003 vid w=0.5 nm. Alltså är det inte alls omöjligt att få en ganska 'stor' tunnlingsström.

Tänk dig nu att du har en studboll med massa m = 100 g som du kastar från höjden 1 m i riktning mot en vägg. Den har då ungefärlig lägesenergin E = 10*0.1*1 J = 1 J. Vad är sannolikheten att den ska kunna hoppa över en vägg med höjden 3 m och bredden w = 10 cm? Man får U = 10*0.1*3 J = 2 J. Om studsbollen kan behandlas som en stor kvantpartikel blir den exponentiella faktorn

exp(-2*0.1*6*10^33) < 10^(-10^32)

vilket är så otroligt litet att det aldrig kommer att hända.

Edit: Givetvis är den uträknade formlen egentligen inte tillämpbar i dessa fall eftersom det handlar om en infallande partikel i vakuum mot en barriär. Det är förstås inte samma sak som en elektron i en metall och definitivt inte samma sak som en studsboll. Alltså bör man ta de numeriska värdena med en nypa salt. Vad som är ganska allmänt däremot är det exponentiella beroendet

T ~ exp( - konstant*sqrt(energibarriär)*längd)

Tack så mycket för ditt svar

evolute;

Jag måste bara fråga..
Vad sysslar du med egentligen ? Du verkar kunna så otroligt mycket verkligen. Studerar du eller är du typ lektor eller något ?
Hur gammal är du ?

Jag är intresserad av fysik och naturvetenskap i allmänhet och så doktorerar jag i fysik på dagarna. Man behöver ju inte kunna allt i huvudet men när man studerat lite fysik så vet man grunderna och behöver kanske bara fylla i lite detaljer man glömt.

Okej, tack för svaret!

Måste nästan säga att jag också är djupt imponerad av evolutes kunskaper, blir lika imponerad varje gång jag ser något han skrivit på flashback.