Bestämma avståndet mellan punkten och skärningslinjen (linjär algebra)

Hej!

Kollar lite på gamla tentor, har omtenta denna vecka. Jag får verkligen aldrig rätt svar när jag gör denna typ av uppgift. Ta exempelvis denna:

Bestäm avståndet mellan punkten (1,0,-2) och skärningslinjen mellan planen x+y-2z=8 och x-z = 3.

Min lösningsgång:

1: Ta fram linjen på parameterform, jag skapar ett ekvationssystem av planen och får:
L = (5, 3, 0) + t(1,1,1)

2: Riktningsvektorn "R" till linjen är då t(1,1,1)

3: Sätter valfritt värde på t i linjens ekvation (t.ex. 0) och får fram den godtyckliga punkten (5,3,0).
(1,0,-2)-(5,3,0) = (-4,-3,-2) där (1,0,-2) är den givna punkten. (-4,-3,-2) sätter jag som U.

4: UL fås av U projicerat på R DVS (-4,-3,-2) projicerat på (1,1,1) vilket med projektionsformeln ger

(1,1,1) * ((1,1,1)*(-4,-3,-2))/((1,1,1)*(1,1,1)) = (1,1,1) * (-9/3) = (-3,-3,-3)

5. Avståndet ska nu ges av längden av U-UL = abs((-4,-3,-2) - (-3,-3,-3)) = abs(-1,0,1) = det sökta avståndet = sqrt(2)

Svaret ska dock bli sqrt(6)..

Vart har jag gjort fel? Kan någon ge mig lite vägledning?

Tack på förhand!

/Crejzi

Kontrollera dellösningen innan du går vidare! För t = 0 får du punkten (5, 3, 0) som ligger i första planet, men inte i det andra planet. Alltså är L inte skärningslinjen.

Jaha haha, vilken tabbe. Tack!

Sen kan du ju förenkla vinkelräta avståndet från en linje till en punkt P, med vektor v tagen som vektorn till P från en godtycklig punkt på linjen, och vektor u som en vektor längs linjen, som normen av kryssprodukten v x u delat med normen av u