Induktionsmetoden

Tja, har suttit med denna fråga ett tag nu.

"Visa att summan av de första 𝑛 jämna talen (𝑛 ≥ 1) är lika med 𝑛² + 𝑛:
𝑛
∑ 2𝑖 = 𝑛² + n
𝑖=1

Basfallet har jag löst med n=1.

Men när använder induktionsantagandet att nästa faller:

𝑛+1
∑ 2𝑖 = (𝑛+1)² + (𝑛+1)
𝑖=1

Förstår jag inte hur jag ska gå vidare.
Började med att skriva:

= 2*(n+1)
= 2n+2
= (n+1) + (n+1)
= n² + 2

Men jag verkar ha snöat in mig på fel väg med lösningen. Hur ska jag tänka?

EDIT:
Kom på att det borde se ut såhär istället:
= (n² + n) + 2*(n+1)

Men längre har jag inte kommit

Visa att S(2n)för n = 1 till k är k(k+1). Där S är summan av talen

1 visa att gäller för k = 2: 2 + 4 = 2*3. sant

2 visa om gäller för k= i så gäller även för k=i+1:

S(2n) n=1 till i+1 = S(2n) n= 1 till i + 2(i+1); men enl IA så är S(2n)från 1 till i = i(i+1) så:
S(2n) n=1 till i+1 = i(i+1)+2(i+1) = (i+1)(i+2) VSV

Orkar inte skriva mer på ipad....

Ok, när du har bevisat att det gäller för basfallet gör du induktionsantagandet att likheten gäller för något n=k. Sedan vill du alltså visa att om det gäller för något n=k gäller det även för k+1.

k+1
∑ 2𝑖 =
𝑖=1

k
∑ 2𝑖 + 2(k+1)
𝑖=1

=/enligt induktionsantagande/= k^2 + k + 2(k+1) = k^2 + 3k + 2 = VL_(k+1), VSV

(Sista likheten gäller alltså eftersom n^2 + 3n + 2 = (n+1)^2 + n+1)

Beteckningar:
VL(n) = ∑_{i=1}^{n} 2i
HL(n) = n(n+1)

Att visa:
VL(n) = HL(n) för n ≥ 1.

Basfall:
VL(1) = ∑_{i=1}^{1} 2i = 2*1 = 2
HL(1) = 1*(1+1) = 2
Eftersom VL(1) = HL(1) gäller basfallet.

Induktionsfall:
Antag att VL(p) = HL(p) gäller för ett specifikt p ≥ 1.
Då gäller VL(p+1) = ∑_{i=1}^{p+1} 2i = ∑_{i=1}^{p} 2i + 2(p+1)
= VL(p) + 2(p+1) = { enligt antagande } = HL(p) + 2(p+1)
= p(p+1) + 2(p+1) = (p+2)(p+1) = (p+1)(p+2) = (p+1)((p+1)+1) = HL(p+1).
Vi har nu visat att om VL(p) = HL(p) så gäller VL(p+1) = HL(p+1) för vårt specifika p.
Men vi hade inte mycket villkor på p utan implikationen gäller för alla p ≥ 1.

Slutsats:
Eftersom dels VL(1) = HL(1), och dels VL(p) = HL(p) implicerar VL(p+1) = HL(p+1) för alla p ≥ 1, så gäller enligt induktionsprincipen VL(n) = HL(n) för alla n ≥ 1.