Mattematik 5, Diffekv. av Radioaktivitet

Kära Flashbackare tar mig en sista desperat åtgärd för att lösa denna uppgift ifrån Helsefyr.

"Kopplat radioaktivt sönderfall

Man deponerar 1 ton av den radioaktiva nukliden A, som med halveringstiden 5 år sönderfaller till nukliden B. Denna sönderfaller i sin tur till den stabila nukliden C med halveringstiden 3 år.
Sönderfallshastigheten är proportionell mot mängden radioaktivt material.
a. Hur utvecklas mängderna av de radioaktiva nukliderna över tid?
b. När är den totala aktiviteten från nukliderna maximal?
c. Det är inte ovanligt att dotternuklidens sönderfall utgör en större fara för levande varelser än modernuklidens sönderfall. Därför är det ofta anledning att studera denna lite extra.
När har dotternuklidens aktivitet minskat till 10 % av sitt maximala värde på aktuell avfallsplats?
"

Mitt stora problem är sammankopplingen av differential ekvationerna, främst förhållandet mellan Nukleotid B och hur den ökar/minskar

När man väl ställt upp diffekvationerna är resten av uppgiften ganska rakt på. Såhär tänker jag angående kopplade sönderfall:

Låt ändringen i antalet nuklider under en kort tid dt vara dNa, dNb och dNc för respektive ämne. Nukliderna har sönderfallskonstanterna lambda_a, lambda_b och lambda_c, där lambda_c = 0 eftersom denna är stabil. För nuklid a blir det ganska lätt, den sönderfaller enkelt till b:

dNa = -lambda_a * Na * dt

För nuklid b så sönderfaller den dels till c, dels bildas det nya b i samma takt som det sönderfaller a. Ändringen i nuklid b blir alltså

dNb = -lambda_b * Nb * dt + lambda_a * Na * dt

För nuklid c så är denna stabil (inget sönderfall), men det bildas nya eftersom b sönderfaller till c. Alltså

dNc = lambda_b * Nb * dt

''Dividera'' alla ekvationer med dt så har du systemet av diffekvationer som skall lösas.

Att lösa systemet är sedan mest en fråga om kallräkning. Lös för a), sätt in i b) och lös för b), och motsvarande för att lösa c). Begynnelsevärden för vardera nuklid behövs såklart. Det rimliga antagandet här är att det finns N0 av nuklid a från början men inget av b eller c, dvs

Na(0) = N0,
Nb(0) = 0,
Nc(0) = 0.

De följande uppgifterna tror jag du löser om du väl fixar a