Polära koordinater area

Nu tänker du dig att denna halvcirkel med diametern 2R liggande på x-axeln roterar kring densamma. Den volym som uppstår är ett klot med radien R. Arean hos en sfär är 4piR^2. Klart.

Okej fan vad enkelt haha. Men man behövde alltså inte använda hela r-koordinaten man fick? Tänker på cos fi där.

Jo, det är klart att man måste. Utan den delen kan man inte säga att det är en halvcirkel.

Om r = 2R då är det i stället en kvartscirkel med radien 2R.

Okej men varför gör just cos fi att det blir en halvcirkel i första kvadranten?

Du har

[;
\\
\\ r = 2\cdot R\cdot cos \phi
\\
\\
x = r\cdot cos \phi = 2\cdot R\cdot cos^2\phi
\\
x - R = R\cdot ( 2\cdot cos^2\phi - 1 ) = R\cdot (cos^2(2\phi) - sin^2(2\phi)) = R \cdot cos(2\phi)
\\
y = r\cdot sin\phi = 2\cdot R \cdot cos\phi \cdot sin\phi = R\cdot 2\cdot sin\phi \cdot cos\phi = R\cdot sin(2\phi)
;]

Då blir

[;
\\
(x-R)^2 + y^2 = (R\cdot cos(2\phi))^2 + (R\cdot sin(2\phi))^2 = R^2 (cos^2(2\phi)+sin^2(2\phi)) )= R^2
\\
\\(x-R)^2 + y^2 = R^2;]

vilket är ekvationen för en cirkel med medelpunkten i (R,0) och radien R.