Kan man göra så här för att bevisa att arean av en enhetscirkel inte är ett underrum?

En av uppgifterna i min mattebok handlar om att man ska bevisa att ytan av en enhetscirkel inte är ett underrum, och jag har löst (?) den på det enklaste sättet som jag kunde komma på, nämligen så här:

http://www.image-share.com/upload/2898/187.jpg

Med andra ord - vektorerna a och b tillhör underrummet, men deras summa a+b gör inte det, och därför kan inte enhetscirkels yta vara något underrum eftersom den inte uppfyller axiomet "Closed under vector addition".
Är det här ett korrekt resonemang?

Det är korrekt.

Du kan också visa det med att ta en vektor v i enhetscirkeln och multiplicera den med en konstant c där c>1 eller c<-1 så cv kommer ligga utanför enhetscirkeln.

Vilket som bryter mot den andra delen i definitionen för underrum, som säger att underrum måste vara slutet under multiplikation.

Tillägg: Förutsatt att |v|=1 givetvis.

Ja det är sant, tack så mycket för svaren.

Ditt sätt är korrekt. Ett annat tillvägagångssätt som ger viss insikt i ett lineärt rums struktur är att notera att varje underrum som har åtminstone ett nollskilt element har obegränsat stora element, mätt med rummets norm. Enhetsskivan är en begränsad mängd och innehåller därför inte obegränsat stora element, så den kan alltså inte vara ett lineärt rum.