Hjälp att räkna ut vinkeln för att en basketboll ska nå korgen

Hej!
Tack. Kan du snälla titta på min lösning
Jag gjorde så här:

x=v*t*cos(a)
t=x/v*cos(a)

y=v*t*sin(a) - g*t^2/s

y(x)= v*sin(a)*x/v*cos(a) - g*x^/2*v^2*cos(a)^2

y(x)=tan(a)*x - gx^2/2*v^2*cos(a)^2

Jag sätter x= 5,2 och y(x)=0,95 och v=8,9

0,95= tan(a)* 5,2 - 1,68/cos(a)^2

Hur kan jag fortsätta nu?

Det ser bra ut. Men kom ihåg att 1/cos^(a) = 1+tan^2(a) . Och då har du bara en andragradsekvation med tan(a) . Du får två lösningar och båda är giltiga, tror jag. Plotta så ser du!

Jag har inte kollat dina siffror. Din ekvation ser rätt ut men du har skrivit lite otydligt. Sätt parentes runt nämnaren så att det framgår att v och cos tillhör nämnaren. Som du skrivit det så är v och cos i täljaren.

Skottvinklarna är floating, dvs finns ett stort spann av utfall, så uppgiften är svår om inte omöjlig!

Vissa lobbar med höjd in bollen andra skjuter låga snåla skott, bollens och ringens diameter måste med för en mer exakt matematisk formel, (rent teoretiskt)takhöjd också, där finns en begränsning, mm. plankskott resulterar i annan vinkel.

...men ge inte upp, lycka till!

Visst, men som tur är slipper vi sådant i matteuppgifterna. Det kommer sedan i "livet efter detta" , dvs livet efter skolan.
Lobba med hög höjd eller skjuta låga skott är två lösningar på andragradsekvationen.
Men det är lite fascinerande att en basebollspelare löser denna uppgift blixtsnabbt på planen utan att veta något om sinus och gravitation!
.

Det bör bli 2 lösningar. Den mindre är dock kanske tveksam i praktiken p.g.a. sin flacka bana, men för en punkt som skall träffa en annan punkt fungerar det, teoretiskt.

Hej igen!
Jag hoppas att ni har tid att kolla om den ser bra ut.
Vinklarna kommer dock inte att vara 67 eller nära 60 ^o

Tack på förehand.

0,95=(tan(a)*x) - (1,68/cos(a)^2)

1/cos(a) = 1+tan^2(a)

tan(a)*x - (1,68 * (1+tan(a)^2) =0,95
multiplicera båda ekvationerna med -1

(1,68 * (1+tan(a)^2) - (tan(a)*x ) = -0,95

1,68+1,68*tan(a)^2 - 5,2*tan(a) = -0,95

1,68*tan(a)^2 - 5,2*tan(a) = -2,63

dividerar med 1,68
tan(a)^2 - 3,1*tan(a) = -2,63
tan(a) [tan(a) - 3,1] = -2,63

Vi har två lösningar:
Den första:
tan(a)= -2,63
a=tan^-1(-2,63)
a= -69^o

Den andra:
tan(a)- 3,1=-2,63
tan(a)= 0,47
a= tan^-1(0,47)
a= 25^o

0.566565 resp. 1.18493 radianer vid en snabb genomräkning.
Dvs. 32,46 grader resp. 67,89 grader - säg 32 resp. 68 grader.
(Med reservation för något fel vid snabb räkning).

https://imgur.com/a/aoKNE

Jag ser att du har a = -69 grader. Det är helt omöjligt. Det skulle innebära att spelare kastar bollen "nästan" rakt ned.

Hur kunde du räkan 0.566565 resp. 1.18493 ?

Tror, utan dykt ner alltför djupt i problemet, att det inte är analytiskt i den mening att det går att lösa exakt, utan man tar fram en funktion,

f(a) = 2.1 - 1.67861 Sec^2(a) + 5.2 Tan(a)

som beskriver träffpunktens höjd över golvet för olika a.
Du söker det a för vilket f(a) = 3.05.
Ekvationen känns inte direkt enkel att lösa exakt, men jag har inte grävt ner mig i den. Skall se på den mera nu. (Med en grafräknare bör det vara en enkel sak, dock.)

Jag uppskattar verkligen din hjälp för att idag är den fjärde veckan jag försöker att lössa uppgiften men jag når ingenstans.
skulle det vara skönt om du kunde lösa Ekvationen.

Tack för att du hjälper mig.

Den här är en graf https://imgur.com/a/uOBNV
o.b.s: Uppgiften kopplas till Kaströrelse i fysik 2.

Då skall vi se om vi kan knäcka nöten. Det gäller ha gott självförtroende och bara "harva på".

Din bild stämmer med min "vision" av det hela.
Nu skall vi bara se om vi kan teckna detta med "ASCII"-tecken på detta forum och få det förståeligt.


Ett basketskott har hastigheten 32 km/h när det lämnar spelarens hand 5.2 meter från korgen, 2.10 m över marken. Basketkorgen sitter 3.05 m över marken. Vilken eller vilka vinklar, i förhållande till golvet ska skottet ha för att kunna gå i korgen?

Låt spelarens hand befinna sig i (x0; y0) = (0; 2.10).

5.2 meter bort befinner sig korgen 3.05 meter över x-axeln, dvs. i punkten (x1; y1) = (5.2; 3.05).

Hastigheten på bollen, v0, är 32 km/h = 32/3.6 m/s.
(Här kan man använda ditt närmevärde 8.9 m/s men för 'exakthetens' skull behåller jag kvoten 32/3.6 än så länge. Försök alltid räkna med "bokstäver" så länge du kan.)

v0 = 32/3.6

Rörelsen i x-led kan beskrivas med formeln x(t) = x0 + v0x * t. v0x står för utgångshastigheten i x-led och den hastighet som bollen bibehåller under hela färden. Utgångshastigheten i x-led, v0x, är

v0x = v0 * cos(a).

Teckna alltså funktionen

x(t) = x0 + v0x * t = x0 + v0 * cos(a) * t = v0 * cos(a) * t (eftersom x0=0, se ovan).

Eftersom gravitationen är den enda kraft som påverkar föremålet i y-led så är denna rörelse likformigt accelererad (nedåt, -g).

g=9.81
v0y = v0 * sin(a)

Teckna, på samma sätt som x(t) ovan,

y(t) = -g * t^2 / 2 + v0y * t + y0 = -g * t^2 / 2 + v0 * sin(a) * t + y0.

(Notera här att y0 = 2.10, inte 0 som x0 var (se ovan) men vi undviker siffror så länge vi kan.)

Hur lång tid tar det för bollen att färdas 5.2 meter (från spelarens hand till korgen i x-led)?
Det är en enkel ekvation eftersom det är en rörelse i x-led och därmed en linjär ekvation.

För något t1 är x(t1) = 5.2, dvs.

x(t1) = v0 * cos(a) * t1 = 5.2.

Denna skall lösas med avseende på t1 och inte a, t1 är i själva verket beroende på kastvinkeln a. Vi får

t1 = 5.2 / (v0 * cos(a))

Låt oss skriva detta som

t1(a) = 5.2 / (v0 * cos(a))

så att du inte tror att t1 är ett absolut värde.

För just detta t1(a) gäller att y(t), som är bollens höjd, skall vara 3.05 (= korgens höjd), annars träffar inte bollen korgen. Dvs.

y(t1(a)) = 3.05

Låt oss teckna y(t1(a)):

y(t) = -g * t^2 / 2 + v0 * sin(a) * t + y0

y(t1(a)) = -g * t1(a)^2 / 2 + v0 * sin(a) * t1(a) + y0 =
= -g * [ 5.2 / (v0 * cos(a)) ]^2 / 2 + v0 * sin(a) * [ 5.2 / (v0 * cos(a)) ] + y0 =
= -g/2 * (5.2/v0)^2 * 1/cos(a)^2 + 5.2 * tan(a) + y0

Denna kan även skrivas som

y(t1(a)) = -g/2 * (5.2/v0)^2 * sec(a)^2 + 5.2 * tan(a) + y0, [ sec(a) = 1/cos(a)^2 ]

men det är främst amerikanska matematikböcker man använder sec-funktionen, men det kan vara bra att veta.

Enligt ovan skulle vi lösa

y(t1(a)) = 3.05 (när bollen träffar korgen)

varför vi har

3.05 = y(t1(a)) = -g/2 * (5.2/v0)^2 * (1/cos(a))^2 + 5.2 * tan(a) + y0

eller, lite enklare,

3.05 = -g/2 * (5.2/v0)^2 * (1/cos(a))^2 + 5.2 * tan(a) + y0

Detta är en bra och illustrativ ekvation som kan åskådliggöras med en grafräknare och linjen y=3.05 talar sitt tydliga språk. En mera abstrakt ekvation blir det om du "flyttar över" 3.05 på höger sida, dvs.

-g/2 * (5.2/v0)^2 * (1/cos(a))^2 + 5.2 * tan(a) + y0 - 3.05 = 0

men fullt likvärdig.

Denna är, vad jag tror, omöjlig att lösa exakt och att döma av siffervärdena i uppgiften valideras min misstaken. Hade det funnits en exakt lösning hade troligen korgen befunnit sig på höjden PI istället för 3.05 eftersom matematiker är patologiskt förtjusta i absurda och opraktiska avstånd...

Alltså, tag din grafräknare och lös

3.05 = -g/2 * (5.2/v0)^2 * (1/cos(a))^2 + 5.2 * tan(a) + y0

eller likvärdigt

-g/2 * (5.2/v0)^2 * (1/cos(a))^2 + 5.2 * tan(a) + y0 - 3.05 = 0

där g=9.81, v0 = 32/3.6 och y0=2.10 (se ovan, i början).

Svaren (2 st) bör bli a1 = 0.566565 resp. a2 = 1.18493.

Omvandla till grader (fysiker älskar grader... vet inte varför...) och du bör vara hemma.
Skriv ut lite vackra grafer och imponera på din läsare (eller lärare).

För att få samma grafer på kastparablen som jag använder du en parameterplot (x(t);y(t)) där

x(t) = v0 * cos(a) * t
y(t) = -g/2 * (5.2/v0)^2 * 1/cos(a)^2 + 5.2 * tan(a) + y0

0 <= t <= t1(a) = 5.2 / (v0 * cos(a))

Du får två kurvor, en för varje a1 resp. a2.
Notera att t1(a) har olika värde beroende på a1 resp. a2.
En flackare bana tar kortare tid att färdas än en hög kastbåge.
Tänk på att i en parameterplot "ser" du inte tiden t grafiskt representerad på någon axel, bara x(t) och y(t) varför grafen beskriver bollens rörelse i det tvådimensionella rummet, inte i tiden.

Lycka till!

PS. Eftersom det är en fysikuppgift kanske man kan göra reflektionen att den flackare banan troligen skulle resultera i att bollen studsar bort igen, men matematiskt är det korrekt med 2 lösningar. Ett exempel med gevärskula hade varit lämpligare, med sin mindre projektil och exaktare mål. Där är stor felmarginal i en basketkorg varför man troligen kan ifrågasätta noggrannheten i beräknade gradtal. Men men... matematiskt håller resonemanget iaf.

Herregud!!! Det är fantastiskt.

Jag har svårt att fatta allt nu och förstå vad som har hänt och vad du har gjort.

Tror du att vinklen 68 är den enda lösningen eller hur?
Jag har ingen grafräknar

Tack från djupet av mitt hjärta!