Ekvationen x^3 -8=0

Lös ekvationen för x i C.
x^3 -8=0

x^3 = 8
hamnar på 0 eller 2pi i enhetscirkeln.
skrives i polärform: 2e^(2pi+2pi*n)/3
n0 = 2e^4pi/3 => 2 (cos 4pi/3 + i sin 4pi/3)
n1= 2e^((2pi+2pi*1)/3) => 2(cos 4pi/3 + i sin 4pi/3)

Men det blir fel? :S

Antingen försöker du dig på någon manöver jag inte begriper mig på, eller så tänker du fel.

X^3-8=0
X^3=8
X=8^(1/3)
X=2

Kanske fusk, men för en sån här enkel ekvation kan man räkna beloppet för sig och vinkeln för sig. Som melyhna skrev är beloppet 2.

Vinkeln blir "något som multiplicerat med pi ska bli ett jämnt antal pi", d.v.s. 0, pi*2/3 och pi*4/3.

n0 och n1 är ju lika? Det är väldigt konstigt. Den ena (föreslagsvis n0) ska vara 2(cos 2pi/3 + i sin 2pi/3)

Resten av lösningarna då? Det är en tredjegradare.

Waiiiit, nu hänger jag inte med..

man tittar ju på talet och ser var den kommer att hamna i enhetscirkeln. +8 kommer hamna på 2pi eller 0.

(2.) då blir ju potensen: 2pi+2pi*n där n kommer vara
1,2,3 (pga det är en tredjegradare!)
n=0 då..

ger 2*e^(2pi+2pi*0)/3
kvar: 2pi/3 aa okej,

n1=(2pi+2pi*1)/3
4pi/3

n2= 2pi+2pi+2
6pi/3 => 3pi


(3) skrives i triognometerisk form
2(cos 2pi/3 + i sin 2pi/3)
2(cos 4pi/3 + i sin 4pi/3)
2(cos 6pi/3 + i sin 3pi)

... fel

Om du väljer 2pi eller 0 är valfritt. Du kan välja 180pi eller -206pi om du vill. Jag tycker det är lättast att använda 0, och jag väljer alltid en vinkel som antingen ligger i intervallet [0, pi) eller [-pi, pi). 2pi skulle jag aldrig använda.

1) => går inte att använda på det sättet. Däremot kan man skriva så här: 2x+4=6 => x+2=3 => x=1. Pilen kan utläsas "medför att".

2) Felet du har gjort här borde du kunna lista ut helt på egen hand. Det är mellanstadiematematik.

Men "i sin 6pi/3" är inte "sin 3pi", det är "i sin 2pi" fast 0 i alla fall.

Svaren blir väl:

2

2(0.5 + i * (roten ur 3)/2)= 1+ i* (roten ur 3)

2(0.5 - i * (roten ur 3)/2)= 1- i* (roten ur 3)

Vad är det för fel?

n=0 = (0+2pi*0)/3 = 0/3 = 2(cos 0/3 + i sin 0/3) => skrives bara 2(cos 0 + i sin0)

n1=(0+2pi*1)/3 =2pi/3 = n1= 2(cos 2pi/3 + i sin 2pi/3)

n2= (0+2pi*2)/3 = 4pi/3 = n2= 2(cos 4pi/3 + i sin 4/3pi)

feeel



Ahh okej, så här var det. Man ska skriva in i en jävla dator och då måste alla parenteser osv vara med.


Men då kanske jag gör ngt härligt slarvfel här också:

x^5 = 2*sqrt(3)- 2i
enhetscirkeln kommer denna hamna på pi/6

om man tillämpar formen R(cos fi + i sin fi) (jag har inte skivit fel, utan det är fi! inte pi!)
så kommer
R = sqrt(2^2*3+2^2) = 4

alltså 4(cos fi + i sin fi)
cos fi = sqrt(3)/2
sin fi = -0,5

men det här är ju inte svaret?

hur gör man sen?

eller är det så "simpelt"

att man bara sätter dit

cos = (sqrt(3)/2+2pi*n)/5
där n=1,2,3,4,5

sin=(-0,5*2pi*n)/5
där n=1,2,3,4,5

det känns som att det borde finnas en bättre metod än denna? att hålla på sin & cos för sig verkar lite mer tidskrävande än om man skulle jämt med ekvationen innan.. Eller går inte det ;S

Du behöver träna på att uttrycka dig mer korrekt. Det blir lite svårt att följa vad du gör. Exempelvis är
cos = (sqrt(3)/2+2pi*n)/5 komplett nonsens som inte betyder någonting alls.

Du kommer inte undan både cos och sin, men det är lite av en ickefråga. De har ju alltid samma vinkel ändå. Tycker du att det är jobbigt att skriva kan du använda eulerformen istället.

haha tack kinesarsle på kärt återseende!

Förutom att du halvt misshandlar implikationspilar som kinesarsle sa så är ditt fetstilta nästan ännu värre. Matematik utövas bäst utan räknare. Tillämpningarna av matematik, t.ex. beräkningsvetenskapen, kan givetvis använda datorer. Eller spjutspetsforskningen. Men att använda miniräknare för att räkna ut ett sån't här tal gör mig ledsen. Släng din miniräknare och lär dig matematik på riktigt.

Vi ser att x = 2 är en lösning. Vi kan därför bryta ut faktorn x-2 ur x^3 - 8. Polynomdivision ger
x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)

Från detta ser vi att vi kan finna övriga lösningar genom att lösa andragradsekvationen
x^2+2x+4 = 0

Dennas lösningar är x = -1 +- i sqrt(3).