bevis att klura på

Låt X vara ett banachrum och låt B(n), n€N, vara en följd av bollar sådana att B(n+1) är en delmängd av B(n) för alla n. Visa att följden av bollarnas medelpunkter x(n) konverterar i X. Visa även att detta ej behöver då X är ett fullständigt linjärt metriskt rum.

Idén jag får är att göra följande. Låt r_n vara radien på den n-te bollen. Då gäller det att r_n är en avtagande följd som är nedåt begränsad vilket alltså innebär att den konvergerar. Motivera nu att

||x_n - x_m|| <= r_n - r_m

Där n < m och eftersom {r_n} konvergerar så måste det gälla att r_n - r_m -> 0 vilket i sin tur innebär att x_n är Cauchy, alltså konvergerar {x_n}.

Vad ett fullständigt linjärt metodiskt rum är vet jag inte, så den passar jag på.

Ja metodiskt rum blir svårt haha metriskt rum skulle där stå ;D