Kurvkonstruktion, asymptoter

Vi har funkt. f(x) = ln(1-lnx).

D_f : 1-lnx > 0 <=> x < e (tar exp. funkt. på bägge led, är detta ett giltigt steg?)

Alltså D_f = (0,e)

Nu är frågan att vi skall hitta eventuella vertikala asymptoter, och då har vi lärt oss att detta endast finns vid de x som är odefinierad inom ngt intervall. Här är ändarna x = 0 samt x = e de odefinierade pkterna, ska vi alltså testa lim_x->0+ f(x) samt lim_x->e- f(x) ?

Är mitt resonemang från början till slut korrekt?

Och hur beräknar vi dessa gränsvärden?

Även en följdfråga:

Alltså, horisontella asymptoter, då kollar vi vad som händer med f(x) när x -> oändlighet. Men om som i detta fall D_f är begränsad, kan det ändå finnas horisontella asymptoter när x -> 0+ eller x -> e-. Just i detta fall går det ju inte eftersom kurvan ska ha vertikala asymptoter där, men för någon annan kurva, skulle den kunna gå mot något där och därmed ha horisontell asymptot?

Ursäkta flummigheten.

Du kan också titta på lutningen och se när den går åt oändligheten.

Derivatan är: 1/(1-lnx) * (-1/x)

För ln(e) så får du nåt delat med noll och oändlig derivata. När x går mot noll så kan du serieutveckla logaritmen. Då tar ettor ut varandra och du får 1/(x*(polynom i x)) vilket också går till oändligheten när x går mot noll.

Annars så ser man ju direkt på funktionen att den blir oändlig för 0 och e.

Ja, det är ju sant. Fast vet inte hur man tar gränsvärde för 1/(1-lnx) * (-1/x) = -1/(x(1-lx)).

om x går mot noll från höger så går alltså ena faktorn i nämn. mot 0 och andra mot oändl.

Vi har inte lärt oss serieutveckling..

Se även min edit

Horisontell asymptot har derivatan/lutningen noll.

Alltså: 1/(1-lnx) * (-1/x) ska vara noll.

Men detta är inte uppfyllt för nåt x i intervallet (0,e). Så nån horisontell asymptot har du inte.

Inser att jag tänkte för snabbt med serieutveckling. Blir trams om du gör så.

Använd l'Hospitals regel så funkar det:
http://sv.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pitals_regel

p/q = (-1/x) / (1 - lnx) = p'/q' = (1/x^2) / (-1/x) = -1/x

Gränsvärdet när x går mot 0 blir då oändligt.

Nja, derivatan ska gå mot noll.

Okej, men det kanske inte finns möjlighet för horisontell asymptot om ändpunkterna inte ingår i D_f, för då bör väl funktionen gå mot oändlighet?

l'Hospitals regel lär vi oss i kapitlet efter detta haha

Men sammanfattningsvis så kan vi alltså dra slutsatsen att vi behöver alltid kolla ändpunkternas (i D_f) gränsvärde för att se om vi har vertikala asymptoter, och om ändpkterna inte ingår i D_f så kan horisontell asymptot ej existera?

Edit: Fast nu blev jag osäker på det sista igen. Tänk så har vi en funktion med två faktorer i en nämnare, och när vi närmar oss ena faktorns nollställe så går den andra faktorn mot oändl. Hur kan man dra någon slutsats där liksom? phuh..