Konvergens för serie/integral?

I min lärobok i analys står det (ungefär):
"konvergens och divergens för en serie beror endast på seriens termer för stora n".

Analogt för en integral som är generaliserad i x=a:
"konvergens och divergens för en generaliserad integral beror endast på f(x) för x nära a".

Hur kommer det sig? Missar jag något uppenbart steg?

Om du har en serie så är varje delsumma (summan över n = 1, ..., N) ändlig. Har hela serien ett oändligt värde måste därför oändligheten ligga i "svansen" (summan över n = N+1, N+2, N+3, ...). Detta gäller hur stort du än tar N. Därför är det termernas uppförande för stora n som avgör huruvida serien konvergerar.

Bygger på att du har nån funktion som ändras på nåt förutsägbart sätt med n. Kanske är lite petigt påpekande, men ingenting säger egentligen att en generell series element ska vara väldefinierade.

Om du har en ändlig serie så får du enbart divergens om nåt av de ingående elementen är oändligt i storlek.

Om du har en konvergent oändlig serie så måste funktionens gränsvärde för stora n gå mot 0. Vilket är ett väldigt naturligt argument för konvergens. Inte ett tillräckligt men nödvändigt argument.

För en generaliserad integral så har man nån punkt i integranden som går till oändligheten. Går ibland att lösa ändå. Fast då gäller det att man tar gränsvärdet av den primitiva funktionen i behandlingen.

Enkelt exempel: Int(1/sqrt(x)) i intervallet [0,1] är inte fullständigt definierad i 0 då 1/sqrt(x) blåser upp i oändligheten i den punkten. Så om det här integralen konvergerar beror på hur funktionen beter sig i närheten av nollan.

Låt oss säga att vi löser intervallet [a,1] istället. För 1>a>0 är då allting väldefinierat. Då får vi primitiva funktionen 2*sqrt(x). Integralen har då värdet: 2*sqrt(1) - 2*sqrt(a).

Låt a gå mot 0 och vi får det ändliga värdet 2 för integralen. Gränsvärdet för integralen konvergerar alltså för a oändligt nära 0.

Man brukar oftast arbeta med serier av reella tal och då är de klart väldefinierade.


Men vi arbetar med reella tal och inkluderar då inte oändligheterna.

Måste varje delsumma vara ändlig? Ta ett random exempel, typ summan av 1/n² över n=0,1,2,3... så har vi problem redan vid n=0. Fast boken kringgår ju detta genom att alltid börja serien på n=1...

Jag tror jag förstår hur serier och generaliserade integraler fungerar men min intuition säger ändå att konvergens bör bero på alla element, inte bara element med stora n. Jag gillar liksom inte att man säger "strunta i element med små n", för tänk om det gömmer sig ett problemfall där?

Det stämmer. Jag kanske var lite otydlig så jag påpekar det nu: I den nuvarande kursen arbetar vi uteslutande med reella tal och serierna är väldefinierade.

1/n² är inte definierat för n=0.
Som du säger, serierna ni jobbar med är väldefinierade och i det fallet är det i "svansen" (serien betraktad för termer n>N för något givet N≥0) som konvergens eller divergens kan avgöras.

Vad en serie har för gränsvärde beror däremot på alla termer; 1/2^n konvergerar exempelvis till 2k där k är första termen i serien, så om man börjar på n=0 så konvergerar den till 2 och om man börjar på n=1 så konvergerar den till 1 och så vidare.