Beräkna gränsvärde

f(x) = sqrt(x^2+1)-x

Vad blir gränsvärdet då x -> positiv oändlighet? Vi får inte använda L'Hospital's regel.

Jag vet inte hur jag ska skriva om det på ngt vettigt sätt?

För stora x kommer +1'an inte att märkas av, så det kommer gå emot sqrt(x²)-x = x-x = 0

Det BNC säger är helt korrekt. Här är ett lite mer solitt sätt att se det.

sqrt(x²+1)-x = sqrt(x²(1+1/x²)) - x = x * sqrt(1+1/x²) - x

1/x² går mot noll, och således går sqrt(1+1/x²) mot 1.

Ok, ja det är ju sant. Lite svårt att riktigt visualisera det men det låter logiskt.


Ja, men du har ju en faktor x framför roten, så du får oändl. * 1 - oändl. . Vi har inte lärt oss räkna med oändligheter som tal.

Skriv om så att:

x * sqrt(1+1/x²) - x=
x(sqrt(1+1/x²) - 1)

Om x går mot oändligheten blir ena faktorn noll:
sqrt(1+1/x²) - 1

Därför blir hela uttrycket 0.

nej talet är felräknat fr. början.

Det går inte att räkna med oändligheter som tal. Det är därför man har gränsvärden.

Standardförfarande ger

lim x->+∞ sqrt(x^2 + 1) - x = {förlängning med konjugatet} =
lim x->+∞ (sqrt(x^2 + 1) - x) * (sqrt(x^2 + 1) + x)/(sqrt(x^2 + 1) + x) =
lim x->+∞ (x^2 + 1 - x^2)/(sqrt(x^2 + 1) + x) =
lim x->+∞ 1/(sqrt(x^2 + 1) + x)

Det föreligger ingen konkurrens mellan täljare och nämnare och vi ser enkelt att uttrycket går mot noll när x går mot positiva oändligheten.

man kan även utnyttja taylorutvecklingen,
sqrt(1 + x^2) -x = xsqrt(1+1/x^2) - x = x( + 1/(2x^2) + ...) - x =
1/(2x) + ... -> 0 när x-> inf

Fast hur kan du dra den slutsatsen, den andra faktorn går ju mot oändligheten? Något som går mot oändlighet ggr något som går mot noll är inte uppenbart noll för mig.


ok, hur drar du din slutsats då? Se mitt svar här ovan till Hippie.


Tack, detta förstår jag

Jag gjorde bara inte en komplett lösning. x*1-x är lika med noll. Noll är noll helt oavsett vad x är.

Okej, så du delar upp det på något sätt, låter endast x i en av faktorerna gå mot oändlighet. för om vi låter x i samtliga faktorer gå mot oändl. så får vi oändlighet * 1 - oändlighet vilket jag inte kan göra ngt med?