T - och F-fördelningar, statistik

Tjena! Jag har följande problem.
Utnyttja Referensvariabeln R(sigma^2) = (n-1)*s^2(x)/sigma^2 -- X^2(n-1), X^2(n-1) syftar då till X^2-fördelning. Givet är n=9 och s^2 4,2. Använd ovanstående referensvariabel för att härleda konfidensintervallet för sigma^2.

Den önskade konfidensgraden är 95%, tvåsidigt.

Jag har gjort följande:

(n-1)*s^2(x)/sigma^2 = X^2(n-1). (osäker på om man kan sätta det vänstrauttrycket lika med det högra, då R(sigma^2) är definierat som angivet ovan). Jag erhåller då
sigma^2=(n-1)*s^2(x)/X^2(n-1). Där X^2(n-1) alltså är X^2-fördelningen. Sedan använder jag alfa=0,95 => 1-alfa=0,05. Jag slår X^2(8)alfa=0,95 resp 0,05. Svaret blir i alla fall fel. På den "undre" sidan av konfidensintervallet får jag rätt på sånär som någon decimal men det övre får jag helt fel på. Jag skulle tippa på att jag antingen löser ut sigma^2 på fel vis eller att jag får mitt alfa fel. Är tacksam för all hjälp. Tack på förhand.

Du har givet att 1/sigma^2 * sum((X_i-X_medel)^2) ~ chi2(n-1) (förutsatt att X_i ~N(mu, sigma^2).
Låt konfidensgraden vara 1-alpha = 0.95, dvs alpha = 0.05. Härefter låter jag alpha = a och sum((X_i-X_medel)^2) = Q för enklare beteckningar.

För en stokastisk variabel X vet vi från definitionen av kvantilen x_a att P(X < x_a) = 1-a, dvs "sannolikhetsmassan till vänster om x_a är 1-a". Alltså är P(X < x_(1-a/2)) = 1-(1-a/2) = a/2. Vi har även alltså P(X < x_(a/2)) = 1-a/2. Sätter vi samman fås

P(x_(1-a/2) < X < x_(a/2)) = 1 - a/2 - a/2 = 1-a.

Tillämpar vi nu detta på den stokastiska variabeln av intresse (utelämnar antalet frihetsgrader i beteckningarna för enkelhets skull) så fås

P(chi2_(1-a/2) < Q/sigma^2 < chi2_(a/2)) = 1-a.

Dividera med Q och invertera olikheterna så fås

P(Q/chi2_(1-a/2) > sigma^2 > Q/chi2_(a/2)) = 1-a

eller snyggare formulerat

P(Q/chi2_(a/2) < sigma^2 < Q/chi2_(1-a/2)) = 1-a.

Vad säger det här då? Jo, att sannolikheten att sigma^2 ligger mellan talen Q/chi2_(a/2) och Q/chi2_(1-a/2) är 1-a. Alltså har vi hittat konfidensintervallet för sigma^2 med konfidensgrad 1-a,

I(sigma^2) = ( Q/chi2_(a/2), Q/chi2_(1-a/2) ).