Delbarhet med 6

Hej

Är talet 4^(n+1)+4(6n-1) delbart med 6, för alla n>=1

Jag har utvecklat det iallafall till 24n+4^(n+1)-4. Där vet vi att 24n alltid är delbart med 6. så återstående är då att kolla om 4^(n+1)-4 är delbart med 6.

Hur gör jag detta? Jag antar att jag ska använda moduloräkning, det är det vi håller på med nu.

Tack!

Ett sätt är att använda induktion

4^(n+1)-4=4(4^n-1)

Det räcker nu att visa att

3|(4^n-1) för n=1,2,...

Jag kom på ett enklare sätt. För att visa att 4^(n+1)-4 är delbart med 6 räcker det att visa att

4^n-1 är delbar med 3.

4^n-1≡1^n-1=0 (mod 3)

Man kan också göra så här. Det är uppenbart att

4^(n+1)+4(6n-1)

är delbart med 2. Det räcker att visa att det också är delbart med 3.

4^(n+1)+4(6n-1)≡1^(n+1)+1*(0*n-1)=1-1=0 (mod 3).

Det gäller att
4^(n+1) + 4(6n-1) = 4*4^n + 24n - 4 = 4*(4^n-1) + 24n

Nu gäller enligt formeln för geometrisk summa att
4^n - 1 = (4^n - 1)/(4 - 1) * (4 - 1) = (1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(n-1)) * 3.

Alltså gäller
4^(n+1) + 4(6n-1) = 4*(1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(n-1)) * 3 + 24n
= 6 ( 2(1 + 4 + 4^2 + ... + 4^(n-1)) + 4n )

Den stora parentesen är ett heltal vilket innebär att 4^(n+1) + 4(6n-1) är jämnt delbart med 6.

Snyggt!