Komplex taylorutveckling

Ska taylor utveckla den komplexa funktionen

f(z) = (1+z)/(1-z) kring punkten z=i.

hit kommer jag:

Låt w =(z-i)

[1+i+w]∑ (1-i)^-(n+1) * w^n

kommer inte vidare

[1+i+w] ∑_{n=0}^{∞} (1-i)^-(n+1) * w^n
= { distributiva lagen över [1+i+w] = (1+i) + w }
= [1+i] ∑_{n=0}^{∞} (1-i)^-(n+1) * w^n + w ∑_{n=0}^{∞} (1-i)^-(n+1) * w^n
= { multiplicera in faktorer }
= ∑_{n=0}^{∞} (1+i) (1-i)^-(n+1) * w^n + ∑_{n=0}^{∞} (1-i)^-(n+1) * w^(n+1)
= { numrera om den andra termen/serien }
= ∑_{n=0}^{∞} (1+i) (1-i)^-(n+1) * w^n + ∑_{n=1}^{∞} (1-i)^-n * w^n
= { flytta ut termen n=0 ur första serien }
= (1+i)/(1-i) + ∑_{n=1}^{∞} (1+i) (1-i)^-(n+1) * w^n + ∑_{n=1}^{∞} (1-i)^-n * w^n
= { slå ihop serierna till en }
= (1+i)/(1-i) + ∑_{n=1}^{∞} ( (1+i) (1-i)^-(n+1) + (1-i)^-n ) * w^n
= { bryt ut (1-i)^-(n+1) ur stora parentesen under summan }
= (1+i)/(1-i) + ∑_{n=1}^{∞} (1-i)^-(n+1) ( (1+i) + (1-i) ) * w^n
= { förenkla parentesen }
= (1+i)/(1-i) + ∑_{n=1}^{∞} (1-i)^-(n+1) 2 w^n
= { flytta ut faktorn 2 }
= (1+i)/(1-i) + 2 ∑_{n=1}^{∞} (1-i)^-(n+1) w^n

Tack så jätte mycket!