Integraler

Hej!

Jag ska beräkna ∫(4x^2 - 4x + 6)e^(-2x)dx genom att först göra variabelbytet -2x = t. Då får jag t=-2x, dt/dx = -2 och dx = dt/-2. Sticker in med en fråga imellan här: När man gör variabelbyten på integraler och så vill man alltid skriva om det som dt istället för dx va? Därför löser vi ut dx och får dx = dt/-2 och inte löser ut dt liksom.

Då får jag iaf när jag ersätter t med -2x detta: ∫(t^2 + 2t + 6)*e^t * dt/-2. Sen använder jag ∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) - ∫F(x)*g'(x)dx. Sticker in med en fråga imellan här: Får man välja vilken som ska deriveras och integreras nu?

Isåfall får jag väl e^t * (t^2 + 2t+6) - ∫e^t * (2t+2). Är det rätt såhär långt och sen fortsätter man bara eller?

Korrekt.


Du får naturligtvis välja vilken som ska deriveras och vilken som ska integreras. Sedan kan det ena valet vara väldigt lämpligt och det andra bara idiotiskt.


Det ser korrekt ut.

Grymt tack för svar! Om jag forsätter får jag e^t * (t^2 + 2t + 6) - (e^t * (2t+2) - ∫e^t * 2). Men hur vet man hur länge man ska fortsätta för jag kan ju applicera samma regel igen och igen? Eller har du några tips hur man vet hur länge man ska applicera regeln?

Precis, nu behöver du inte göra mer eftersom integralen av e^t*2 är väldigt enkel att lösa, lös den och lägg ihop alla termer så är du klar

Aha okej så man använder regeln till man enkelt kan bestämma integralen. Men då får jag e^t(t^2+2t+6)-(e^t*(2t+2) - e^t * 2t). Om jag förenklar och bryter ut e^t får jag e^t(t^2+2t+8). Men vad ska man göra sen?

Byt tillbaka till variabel x och sätt in eventuella integrationsgränser.

Okej då får jag e^(-2x)(-2x^2 - 4x + 8) + C. Men i facit står det: (-2x^2 - 3)e^(-2x) + C. Är det verkligen samma?

Nej det är inte samma :P

Förmodligen har du gjort något räknefel på vägen, gå igenom steg för steg så kommer du hitta felet.

Hittar inget fel om jag hade gjort rätt fram tills andra integrationen.

Efter en snabbkoll (<---brasklapp), tycks felet ligga i när du ska integrera

∫e^t * 2.

Du skriver att du får

e^t * 2t,

vilket är fel. Istället:

∫e^t * 2 dt = 2∫e^t dt = 2e^t.

Aa det är helt korrekt! Men då får jag e^(-2x)(-2x^2 + 10) + C men det är inte helt samma som facit fortfarande.

Du har nog gjort ett fel någonstans i förenklingen av polynomen. Glöm även inte att du ska dela allt med -2, ty dx = dt/(-2).

Jag kan gå igenom talet om en stund...