Ordokalkyl

Har lite problem med ordokalkyl och mer specifikt ett gränsvärde.

(lim x->0) (x·e^x^5-x)/((x-sin·x)(x-arctan·x))

Om man använder sig utav att:

e^x=1+x+O(x^2)
sin(x)=x^3/3!-O(x^5)
arctan(x)=x^3/3!-O(x^5)

(lim x->0) (x·(1+x^5+O(x^10))-x)/(x-(x-x^3/3!+O(x^5)))(x-(x-x^3/3+O(x^5)))

Jag förstår inte riktigt hur man räknar ut dessa? Har väl problem med att fatta hur man gör med O(x^10) och dylikt. Ska man bara hantera den som en faktor och expandera ut dom som vanligt? Hur gör man när det är 3 faktorer som i det här fallet? Finns det något knep, det kan ju bli ganska många uträkningar?

Täljaren:
e^t = 1 + t + O(t^2)
e^(x^5) = 1 + x^5 + O(x^10)
x e^(x^5) = x + x^6 + O(x^11)
x e^(x^5) - x = x^6 + O(x^11)

Nämnaren:
x - sin(x) = x - (x - x^3/6 + O(x^5)) = x^3/6 + O(x^5)
x - arctan(x) = x - (x - x^3/3 + O(x^5)) = x^3/3 + O(x^5)
(x - sin(x)) (x - arctan(x)) = (x^3/6 + O(x^5)) (x^3/3 + O(x^5)) = x^6/18 + O(x^8)

Kvoten:
(x e^(x^5) - x) / ((x - sin(x)) (x - arctan(x))) = (x^6 + O(x^11)) / (x^6/18 + O(x^8))
= (1 + O(x^5)) / (1/18 + O(x^2)) -> 1 / (1/18) = 18

Kan du skriva ut stegen du tar för att göra detta (fetstilta)? Undrar även vad man ska tänka på när man har O(x^11) och O(x^8) i dom olika delarna?

Första likheten är bara insättning av föregående resultat.

När parenteserna multipliceras ihop får jag:
x^6/18 + (x^3/6) O(x^5) + O(x^5) (x^3/3) + O(x^5) O(x^5)

Nu gäller att k x^m O(x^n) = O(x^(m+n)) och O(x^m) O(x^n) = O(x^(m+n)) så föregående summa reduceras till
x^6/18 + O(x^8) + O(x^8) + O(x^10)

Sedan gäller O(x^m) + O(x^n) = O(x^(min(m,n))) då x → 0, vilket reducerar uttrycket vidare till
x^6/18 + O(x^8)



Ren insättning av föregående resultat.