Falla/borra/ramla genom jorden [Samlingstråd /mod]

Rörelseenergin går väl över till värme i kropparna som gravitationen verkar på eller nått. Möjligt att gummibanden var ett dåligt exempel.

Nu blev jag själv lite osäker på detta. Men jag tycker att eftersom krafterna som verkar på den "bobbande" kroppen ändras hela tiden beroende på var den befinner sig så borde det bli någon form av energiförlust.

Nån mer kunnig får gärna svara på detta *host* evolute *harkel*

Ja, när man har fallit nedåt en viss sträcka kommer en liten gravitationskraft förska bromsa fallet, men vad händer sedan när man faller förbi mittpunkten och fortfarande har massa ovanför sig? Då kommer den massan dra i en och ge lite extra energi, som tar ut rörelseförlusten man fick tidigare. Alltså kan man räkna bort all massa runt om och räkna gravitationskällorna som en enda punkt.

Anledningen till att man stannar i gummisnoddsexemplet är för att rörelseenergin blir värme, som någon redan har nämnt.

Så hur långt tid kommer det då att ta från det vi hoppat ner i hålet tills vi stannar upp i jordens mitt.

Och hur kan vi komma tillbaka igen. Går det att hissa ner en repstege, skulle denna hålla sin egen vikt och hur lång tid skulle det ta att klättra upp igen?

Antag att vi inte har någon luft i hålet så att vi inte har något luftmotstånd.
Vidare antar vi att jorden inte roterar, att den är en perfekt sfär och att den
är helt homogen (inga densitetsvariationer). Hålet vi gör är givetvis för litet
för att påverka något.

När man är nere i hålet så definierar ens position r (avstånd till centrum) en
sfär med radien r. Gravitationell påverkan från massan i det 'skal' som har
innerradie r och ytterradie r0 (jordens radie) kommer att vara 0. Detta
behändiga faktum kan bevisas om man så vill. Alltså kommer vi att påverkas
av gravitationen från en sfär med radie r som påverkar en med kraften

F = G*m*M/r^2

där G = 6.67e-11 är gravitationskonstanten
m= 80 kg, vår massa
M= sfärens massa.

Sfärens massa kan skrivas M=rho*V = rho*4*pi*r^3/3

där rho = 5515 kg/m^3 är jordens medeldensitet så att kraften är

F = 4*pi/3*G*m*rho*r.

Enligt newtons andra lag gäller

m*d^2 r /dt^2 = F = -4*pi/3*G*m*rho*r

Denna differentialekvation har sinus/cosinus funktioner som lösningar
och genom att använda r(0)=r0 (jordradien) och dr(0)/dt = 0 som begynnelse-
villkor kan vi bestämma okända konstanter. Begynnelsevillkoren motsvarar
att man vid tiden t=0 befinner sig stilla vid hålets mynning på jordytan.
Lösningen blir

r(t) = r0*cos(sqrt(4*pi/3*rho*G)*t)

som är en oscillerande funktion med perioden 2*pi/(sqrt(4*pi/3*rho*G)) vilket
blir ca 1 och en halv timme. Alltså - om du i denna modell - hoppar ned i
hålet tar det 1.5 h att komma tillbaka upp igen. Positionens och
hastighetens tidsberoende är plottade i figurerna nedan

http://surl.se/rri

Men vad händer då vi lägger till luftmotstånd? Givetvis får vi då en
retarderande kraft som kommer att vara mycket viktig. Sluthastigheten
vid fritt fall vid jordytan är ca 55 m/s - jämför det med de ca 8000 m/s som
uppnåddes i exemplet ovan.

Antag att luftens densitet är konstant genom hålet. Luftmotståndet ger
upphov till en kraft

Fl = 1/2*C*rho_l*A*v^2 = k*v^2

Vid sluthastisgheten balanseras denna kraft precis av tyngdkraften så vi får

mg = kv^2

vilket ger k = 0.26 kg/m (för m=80 kg och g=9.8). Vi låter nu k vara konstant
i hålet vilket mostavarar konstant luftdensitet, kropssform etc. Newtons
andra lag får nu formen

m*d^2 r /dt^2 = F = -4*pi/3*G*m*rho*r - sign(dr/dt)*k*(dr/dt)^2

där sign(x) är teckenfunktionen som också kan definieras x/|x|. Vi behöver
den för att få rätt riktning på kraften.

Denna differentialekvation löser vi numeriskt. Man finner då positionens och
hastighetens tidsberoende i nedstående figurer

http://surl.se/rrl

Man ser att det skulle ta ca 2.7 dygn att nå jordens centrum och där skulle
vi alltså stanna med mycket små oscillationer kring jämviktsläget.

Givetvis är detta en enkel modell men eftersom utgångspunkten är ganska
otrolig så kanske det räcker.

Visst kan vi hissa ned en repstege. Stegen kommer att dras nedåt av
gravitationskraften hela vägen ned till centrum. Dock kommer kraften att avta
och vara precis 0 vid jordens centrum. En intressantare tanke är att föra ned
en 'fast' stege. Om denna stege är två jordradier skulle vi då ha en
permanent stege som inte skulle behövas förankras (om vi rör oss i den
enklare modellen).

Tack evolute. Det är alltid ett nöje att läsa dina svar. Kanske har jag missat nått men vad jag förstår så borde graviationen som vid jordytan börjar med 9.82m/s^2 och sedan minskar för att vid jordens mittpunkt vara 0 och sedan bli negativ. Som man då kan beskriva som att man skulle pendla fram och tillbaka med den perioden du angav.

Sen börjar jag tappa tråden. Du lägger till luftmotståndet och räknar med en konstant densitet på luften genom hela hålet. Alltså bortser du ifran att luftens densitet ändras pga att gravitationen ändras beroende på position i hålet. Eller påverkar inte graviationen deniteten av en gas? Hur funkar det?

Men ifall vi ändå räknar med en konstant densitet på luften genom hela hålet så borde inte sluthastigheten för fritt fall ändras genom hela fallet.
Hastigheten skulle alltså få en topfart på ca 55m/s efter bara några sekunder av frittfall men sedan minska eftersom gravitationen minskar (kraften åt ena hållet) medans luftmotsåndet är konstant (?) (kraften åt andra hållet). Alltså skulle hastigheten börja minska direkt efter att topfarten uppåtts.

Jag kanske är helt ute och cyklar, kanske min begränsade fysikutbildning inte är tillräklig för att förstå allt du räknade med? Hoppas jag förklarade bra nog vad som inte gick ihop för mig.

Edit: Oj, kanske drog upp fel tråd. Skulle kanske ha fortsatt i tråden "Varför trillar inte kineserna av jorden?"

Jag bortsåg bara från densitetsförändringen för att jag inte orkade/kunde räkna ut hur densiteten borde förändras. Antagligen ingen fantastisk approximation men det kvalitativa beteendet borde vara detsamma.


Luftmotståndet är inte konstant. Det är proportionellt mot v^2 så givetvis ändras luftmotståndet. Men du har helt rätt i att hastigheten minskar efter att topphastigheten uppnåtts. Dock är topphastigheten ganska låg så avståndet till jordens centrum ändras långsamt. Därför ser man inte direkt hastighetsförändringen i grafen jag skapade över de första 60 sekunderna.

Tittar du förändringen av lutningen i avståndsplotten blir detta klart.

Det här har jag klurat på lite, vad skulle hända ifall man borrade ett hål rätt igenom jordklotet och hoppade ner i det? Verkar rätt osannoligt att man flyger ut på andra sidan men verkar även rätt underligt att man skulle sväva runt i mitten också.

Om ni inte förstår vad jag menar så kommer här en illustration:
http://img124.imageshack.us/my.php?image=bild8an.jpg

Den här tråden handlar i princip om samma sak, när man läser förstainlägget, även om inte rubriken säger det.

Jag fattar inte att folk inte fattar detta...

Om jag har förstått saken rätt är det ganska varmt i mitten, ungefär.
Om man bortser från det, kanske ett vettigt scenario skulle vara att den ackumulerade fart du har från det fria fallet till den punkt där gravitationen "upphör", om den nu gör det, skulle ta dig förbi mittpunkten och sedan åker du fram och tillbaka, som en jojo?
(Jag menade att skriva att du skulle ploppa ut på andra sidan, men i mitt omtöcknade tillstånd kom jag sent om sider på att dragningskraften drar åt andra hållet efter att du passerat mittpunkten...)

Edit: Tydligen fanns det redan en tråd i ämnet, där detta inlägg har postats:
http://www.flashback.org/showpost.p...21&postcount=2

...men om man faller lika långt ned från mittpunkten som man redan har fallit, borde man ju då ploppa ut ur hålet på andra sidan jordklotet, va?
Om inte, kunde det lösas med att man hoppar in i hålet från någon form av hög plattform. Det borde ju ge det där lilla extra som behövs.

..under förutsättning att inga energiförluster uppkommer, i form av luftmotstånd. Vilket inte är särskilt troligt.
Man kommer åka fram och tillbaka, och för varje tur kommer man att åka kortare väg och till slut så stannar man vid jordens medelpunkt.

Men detta förklaras i andra trådar också.