Bestäm samtliga komplexa nollställen

...till polynomet P(z)=z^4-8z^3+22z^2+40z-375 när du vet att P(3+4i)=0. För vilka reella z är P(z)<0?

Jag fick det till att eftersom P(3+4i)=0 -> z0= 3+4i rot/nollställe så är även z0=3-4i rot/nollställe och (z-(3+4i))(z-(3-4i))=z^2-6z+25 vilket bör vara delbart med polynomet P(z)=z^4… men det stämmer ej. Vad gör jag fel och hur löser jag uppgiften?

Det stämmer så du måste göra något fel vid polynomdivisionen.

p(z) = z⁴ -8z³ + 22z² + 40z - 375
q(z) = (z - (3 + 4i))(z - (3 - 4i)) = z² - 6z + 25

p(z)/q(z) = ... = z² - 2z - 15

Använd kvadratkomplettering för att få fram de sista två nollställena för hela polynomet.

Märkligt, får inte divisionen att gå jämnt ut men får försöka en gång till. Tusen tack för svaret!

..

Låt z = x (imaginärdel noll, så z rent reellt). Vi har alltså i reella faktorer:

P(x) = (x + 3)(x - 5)(x² - 6x + 25)

Gör nu en teckentabell. Observera att:

x² - 6x + 25 = (x - 3)² - 3² + 25 = (x - 3)² + 16 > 0

För alla reella x.

Återigen tack. Jag fastnade i teckenschemat vid att i var med men insåg sedan att (z-(3+4i))(z-(3-4i))=z^2-6z+25 vilket redan var framräknat..