Parametrisera formen som beskrivs av x=(16-z² )^(1/2), y=(16-x² )^(1/2) och z=-y

Uppgiften, 8.18:

http://i62.tinypic.com/219ysdc.jpg


Mitt försök:

http://i60.tinypic.com/n4ef75.jpg

Men jag har fastnat.. vill ja ha det med bara s och t istället, med sin och cos och sådant. Har jag tänkt rätt föresten?

Låt x-axeln vara i rörets riktning, y-axeln tvärsöver och z-axeln uppåt genom cirkelns centrum.

Vi parametriserar först cirkeln:
x = 4 cos t
y = 4 sin t
där t går från 0 till 2 pi.

Sidprofilen ger
z = |x| = 4 |cos t|

Färdigt.

Jag tycker inte det räcker med en parameter för en yta.

Mitt förslag är att använda z och t som parametrar

x = zcos t
y = zsin t

0<=z<=4, 0<=t<=pi

Just det, det var den utskurna ytan som skulle parametriseras, inte kanten av den.

Nytt försök:
x = r cos t
y = r sin t
där 0 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ t ≤ 2π.

Eftersom z ligger på cylindern y² + z² = 4² får vi
z = √(4² - y²)

Detta stämmer med profilens rand z = |x| eftersom det på randen gäller att r = 4 så att x = 4 cos t och y = 4 sin t och vi får
z = √(4² - (4 sin t)²) = √(4² cos² t) = |4 cos t| = |x|.

Fint! Då förstår jag den biten. Men hur räknar man ut ytan?

r=(4sint,4cost,4cost) Eller hur?

och

r'x=(4cos, -4sint, -4sint)

r'y=(0,0,0)

så r'x (kryssprodukt) r'y = 0

Det måste ju vara fel!? Hur ska jag göra?

Det blir lite förvirrat att använda r en gång till. Antag att parametrarna heter u och v. Då blir parametriseringen

x = u cos v
y = u sin v
z = √(4² - u²sin²v)

där 0 ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 2π.

r(u,v)=(u cos v, u sin v, √(4² - u²sin²v))

tackar!

En parametrisering som ger en enklare integral är

r(u,v)=(4u sin v, 4cos v, 4sin v), -1<u<1, 0<v<pi

Origo ligger i korsningen av rörets centrum och hålets centrum. x-axeln är parallell med röret, z-axeln är parallell med hålet.

Areaelementet blir

dS=16sin v

Arean blir 64.