Diagonalisering + egenvektorer, parametrisering/teckenfel

Sitter och löser lite system av linjära differentialekvationer och har stött på ett problem angående parametrisering av egenvektorer. Jag vill lösa följande system

[; \vec{y'} = A\vec{y} =
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2 \\ y_3
\end{pmatrix}
;]

Jag har fått fram egenvärden [; \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3 ;]. För t.ex. [;\lambda_2 = 2;] får jag fram ett ekvationssystem enligt

[; \begin{pmatrix}
-2 & 0 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
;]

Jag får att [; -2x_1 = x_3 = x_2 ;]. Om jag sätter [;x_1 = t;] får jag att [; x_2 = x_3 = -2t;], vilket ger

[;
\begin{pmatrix}
t \\
-2t \\
-2t \\
\end{pmatrix}
= t\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
-2 \\
\end{pmatrix}
\implies \ \vec{x_2} = \begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
-2 \\
\end{pmatrix}
;]

Detta minustecken ändrar matrisen [;P;] (som diagonaliserar A) och därmed [;P^{-1};]. Jag kontrollerade genom att beräkna [; P^{-1}AP;], vilket resulterar i en icke-diagonal matris.

Den egenvektor för [;\lambda_2 = 2 ;] som uppfyller [; D=P^{-1}AP ;] är en motriktad vektor

[; \vec{x_2} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} ;]

Den korrekta "P"-matrisen är

[;
P = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
0 & 2 & -1
\end{pmatrix}
;]

Jag har precis samma problem med den tredje egenvektorn.
Hur vet man hur man ska parametrisera för att få rätt "P"-matris (egenvektorer) från början? Kontrollering m.h.a. [;D = P^{-1}AP;] går ju såklart att kolla, men det tar sådan tid att hitta inversen för varje P man får ut och sedan utföra matrismultiplikation, speciellt om man är osäker på mer än en egenvektor. I det här fallet stämmer [; A\vec{x_n} = \lambda_n \vec{x_n} ;] oavsett vilken riktning (parametrisering/tecken) egenvektorerna har.

Det ska fungera oavsett exakt vilka egenvektorer du sätter in i [; P ;]. Är du säker på att du räknade ut [; P^{-1} ;] korrekt?

Om [; \mathbf{u}_1 ;], [; \mathbf{u}_2 ;], [; \mathbf{u}_3 ;] är egenvektorer med egenvärdena [; \lambda_1 ;], [; \lambda_2 ;] respektive [; \lambda_3 ;], och man sätter [; P = (\mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2 \mathbf{u}_3) ;] så gäller [; A P = P D ;], där [; D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) ;], varför gäller [; P^{-1} A P = D ;].

Jo, AP = PD är ju aningen enklare att kontrollera än att hitta invers och beräkna [;D = P^{-1}AP ;].. Konstigt att jag lyckades beräkna [;P^{-1};] fel flera gånger i rad..

Om jag har förstått det rätt så ska det fungera oavsett parametrisering (riktning) på egenvektorn? Exempelvis, säg att man har en egenvektor

[;
\vec{u} =
\begin{pmatrix}
-2 \\
-3 \\
1
\end{pmatrix}
;]

så kan man lika gärna använda en motriktad egenvektor

[;
\vec{u} =
\begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
-1
\end{pmatrix}
;]
i matrisen P?

Så vitt jag kan se, ja.