Induktion

Hej!

Hur kan jag visa med induktion att i=1 upp till n(summatecken) för i(2^i) = 2 + (n-1)2^(n+1) för n>=1. Basfall är ju alltid enkelt men sen vid induktionssteget, ska jag lägga till (n+1)(2^(n+1)) termen i vänsterled, för de går ju från i till n+1 om jag ska visa att det gäller för nästa heltal. Sen ersätter jag i(2^i) med det i högerledet i uppgiften och sen försöker jag visa att det är lika med det i högerledet(fast med n som n+1)?

Det är väldigt svårläst som du skrivit det så är inte säker på att jag förstår vad du skriver, men om du skriver upp uttrycket borde formeln du har bli:

sum(i*2^i) , {i=1, ..., n} = 2 + (n-1)*2^(n+1)

och då borde steg (n+1) bli:

sum(i*2^i) , {i=1, ..., n+1} = 2 + (n)*2^(n+2)

återstår att visa att VL = HL, lämpligen genom att utveckla summan och verifiera att HL dyker upp.

Okej men om jag skriver upp det jag tänkte så får jag

2+(n-1)2^(n+1) + (n+1)(2^(n+1)) = 2+((n+1)-1)2^((n+1)+1) och om jag då visar att VL=HL så är jag klar. Tänkte att man kan förenkla det där till:

2+(n-1)2^(n+1) + (n+1)(2^(n+1)) = 2+(n)2^(n+2) men vad är nästa steg i förenklingen? Vad kan man göra mer?

Det ser ut att stämma och då är du ju klar. Det du skrivit nu är mycket lättare att hänga med i än ditt första inlägg och om du kopplar ihop texten från första inlägget med det sätt att skriva formlerna du använde nu är det väldigt tydligt hur du gjort (särskilt om du skriver ner det för hand eller i LaTeX för t.ex en redovisning). Det behöver inte förenklas ytterligare.

Aha men är det verkligen samma? För i vänsterled borde man ha 2n och 2 ettor i exponenten jämfört med i högerled har man bara n+2.

Ja, det är samma sak. Tar och skriver ut tydligare vad som händer:

VL = sum(i*2^i) , {i=1, ..., n+1} =

baserat på induktionsantagandet skriver vi om det som

= 2 + (n-1)*2^(n+1) + (n+1)*2^(n+1) =

och noterar att vi kan skriva om det ytterligare som

= 2 + (n-1+n+1)*2^(n+1) =

eftersom distributiva lagen, a(b + c) = ab + ac gäller
och kan förenkla till

= 2 + 2*n*2^(n+1)=

vilket är samma sak som nedanstående eftersom 2^(n+1) är samma sak som 2*2*..*2 med n+1 tvåor och vi multiplicerar med ytterligare en tvåa, dvs 2*2^(n+1)= 2^(n+2) = 2*...*2 med n+2 stycken tvåor.

= 2 + n*2^(n+2) = HL och då är vi i mål.