Linjär Algebra, kryssprodukt

Hejsan.

Har lite problem med att förstå en sak. När de ska härleda varför kryssprodukten ser ut som den gör så är det ett steg som jag inte förstår. Eller 2 steg tom.

http://i.imgur.com/3DT59Kh.jpg

I ekvation 3, hur kan de bara anta att b_3 samt a_3 är skilda från noll när de multiplicerar ekvationerna med de?

Sedan skriver de "Equation 3 has the form pc_1+qc_2 = 0, for which an obvious solution is c_1 = q and c_2 = -p."

Varför tar de bara fram just denna lösningen? Det finns väl minst en till? Och potentiellt fler. Är det för att det geometriskt inte kan existera fler än två vektorer som är ortogonala till vektorerna a och b?

Förvirrad.

EDIT: Dessutom så borde det finnas oändligt många vektorer som är ortogonala mot både a och b, bara med olika magnituder. Fast kryssprodukten är alltså endast en av dessa?

Tror inte dom antar a_3 och b_3 är skilda från noll, multiplicera med noll får man göra. Dividera med noll däremot är inte okej och då antar man att talet man dividerar med är skilt från noll.

Det stämmer att det finns oändligt många vektorer som är ortogonala mot a och b. Dock är det endast en skalfaktor som skiljer dom, däremot är riktningen unik vilket ofta är det viktiga resultatet i en kryssprodukt.

Fast om man multiplicerar en ekv. med noll så förstör man ju potentiellt ekv.

Ex. x+3 = 5 <=> a*(x+3) = a*5 där a tillhör R. Om a = 0 fås 0 = 0, vilket gäller för alla x. Vi har alltså förstört all info som den ursprungliga ekv. gav oss.


Ok, bra då vet man det Men varför valde man just att definiera kryssprodukten som just denna specifika vektor? Valde de bara en slumpmässigt?