Problem med logaritmering

Hej, sitter och klurar med en uppgift som jag inte riktigt förstår eftersom att det känns som att jag gör allting rätt.

Uppgift: Lös ekvationen lnx^2 + ln(2x) = ln (2 / e^2)

Jag löste uppgiften på följande sätt:

lnx^2(2x) = ln(2 / e^2)

ln2x^3 = ln(2 / e^2)

e^(ln2x^3) = e^(ln(2 / e^2))

2x^3 = 2 / e^2

x^3 = (2 / e^2) / (2 / 1)

x^3 = 2 / 2e^2

x = (2 / 2e^2) ^(1/3)

Svaret ska dock bli: x = e^(-2/3)

Jag antar att de gör någon slags förenkling men jag förstår inte riktigt hur, någon som kan hjälpa mig?

I ditt sista steg så har du: x = (2/2e^2) = 1/e^2 = e^(-2)

Dvs. (e^-2)^(1/3) = e^(-2/3)

ok fram till 2x^3 = 2/e^2

Fortsätt sedan så här

x^3 = 1/e^2 = e^-2

x = (e^-2)^(1/3) = e^(-2/3)

Skall det inte vara?
x^3 = 1 / e^2

efter 2x^3 = 2 / e^2?

Dvs..
e^2 = 1/x^3
2 = ln(1/x^3)
2 = ln(1) - ln(x^3)
2 = 0 - 3ln(x)
2 = -3ln(x)
-2/3 = ln(x)
x = e^(-2/3)

Tack så mycket, vore surt om man missade poäng på grund av en simpel förenkling.

Okej då måste jag ha gjort fel då :P

2/(2e^2) = 1 / e^2

som i sin tur är lika med e^-2, så fel hade du inte.