Gauss eleminationsmetod

Kan någon förklara vad "Gauss eleminationsmetod" är och vad det går ut på? Kanske göra en uppgift och förklara hur man går tillväga + syftet? Skulle verkligen uppskattas.

All information du kan behöva:
http://sv.wikipedia.org/wiki/Gausselimination

Om konceptet är helt nytt kanske det är svårt att bara läsa av Wikipedia artikeln direkt så vi kan köra deras exempel dom har!

Lös ekvationssystemet
x_1 + 2x_2 + x_3 = 8
x_1 + x_2 + x_3 = 6
4x_1 - x_2 + 2x_3 = 8

Som vi kan se har vi 3 ekvationer och 3 obekanta (x_1,2,3). Detta innebär att vi har tillräcklig information för att lösa problemet.

Jag löser problemet på ett annat sätt än Wiki (med multiplikation) så kan du pröva lösa samma problem med deras sätt (omkastning och division)!

Nu vet jag inte om du är bekant hur man skriver på matrisform men vi kan säga att vi skjuter index och x/y/z åt sidan sålänge och bara tittar på siffrorna då står det såhär,

1 2 1 | 8
1 1 1 | 6
4 -1 2 | 8

eller om man hellre ser x/y/z
1x 2y 1z
1x 1y 1z
4x -1y 2z

Om du kommer ihåg hur man löste system med 2 obekanta med multiplikation och sedan addition och substitution så är det här samma process fast vi har lite fler steg kan man säga. Vi börjar med att försöka eliminera X siffran på andra raden genom att multiplicera första ekvationen med -1 och sedan addera, alltså:

1(*-1) 2(*-1) 1(*-1) = 8(*-1) första rad multiplicerad med -1
+
1 1 1 = 6 vår ursprungliga andra rad
=
0 -1 0 = -2 detta är vår nya andra rad.

Nu ser det alltså ut såhär
1 2 1 = 8 (oförändrad)
0 -1 0 = -2 (gaussad )
4 -1 2 = 8 (oförändrad)

Nu eliminerar vi rad 3's X på samma sätt som tidigare och multiplicerar första ekv. med -4 och adderar på rad 3

1(*-4) 2(*-4) 1(*-4) = 8(*-4)
+
4 -1 2 = 8
=
0 -9 -2 = -24

Vår ekvation ser nu ut såhär,
1 2 1 = 8 (oförändrad)
0 -1 0 = -2 (gaussad)
0 -9 -2 = -24 (gaussad)

Härifrån ser vi tydligt vad x_2 = 2, därifrån substituerar vi in det värdet i 3dje raden (-9*2) -2 = -24 och löser för x_3= (-24+18)/2 = 3. Nu har vi x_2=2 och x_3=3 då kan vi lösa för första raden,
x_1 +2(2) +1(3) = 8, x_1 +4 +3 = 8 så ser vi snabbt att x_1 är lika med 1! På Wikin löser dom den genom lite erfarenhet så ser dom att det är smidigt att kasta om ekvationerna men det går lika bra att lösa såhär i början. När du löser lite uppgifter blir det smidigare att se hur du kan manipulera problemet för att göra det lättare för dig själv. Till exempel blir deras system triangulerat på formen
x_1 x_2 x_3 =
0 x_2 x_3 =
0 0 x_3 =

vilket gör substitution smidigt.