Kan inte hitta extrempunkt till e-funktion

Jag fattar inte hur jag ska lösa följande uppgift;

"I vilken punkt har funktionen f(x)= e^(-x)*((x+8)/(x+6))^(1/2) en lokal minimipunkt?"

Har deriverat funktionen;

f'(x)= -e^(-x)*((x+8)/(x+6))^(1/2)+e^(-x)​*(1/2*1/((x+8)/(x+6))^(1/2)​*((x+8)-(x+6))/(x+8)^2)

men jag kommer fan inte kunna få fram ett nollställe. Den deriverade funktionen är inte ens definierad för noll. Jag har även använt en grafräknare men det funkar ändå inte. Vet någon vad det är med den här uppgiften? Vad gör jag för fel? Svaret ska skrivas som x="någonting" så jag kan inte skriva att funktionen inte har ett lokalt minimum.

Tacksam för hjälp.

Din funktion blir komplex för x mellan -8 och -6 eftersom du då får roten ur ett negativt tal.
Om du hoppar över detta intervall så har du e^(-x) en funktion som alltid är större än noll och ((x+8)/(x+6))^(1/2) som också är större eller lika med noll.

Så du har två faktorer båda är större eller lika med noll. Man ser tydligt att f(x) blir noll då x=-8, vilket måste vara minimum för funktion eftersom f(x) är produkten av två positiva funktioner.

Derivatan blir

f'(x)= -e^(-x)*((x+8)/(x+6))^(1/2)+e^(-x)​*(1/2*1/((x+8)/(x+6))^(-1/2)​*((x+6)-(x+8))/(x+8)^2)

f'(x) kommer alltid vara mindre än 0, så om man ska hitta en lokal minimipunkt är det vid någon eventuell ändpunkt där funktionen är definierad. En sådan punkt finns då

(x+8)/(x+6)=0

x+8=0

x=-8

Där är f(x)=0

Det är dessutom ett globalt minimum. Det finns en till punkt att överväga och det är x=-6, men där är f inte definierad så då kan det inte vara en minimipunkt.

Tack så hemskt mycket för hjälpen!