Hjälp med matteuppgift(trigometri)

Visa det trigometriska sambandet, tan(x/2)=(1-cosx)/sinx

Har fastnat på exakt samma fråga på kursen sommarmatte, vi får väl vänta på nåt svar från nån! :P

använd sin(x/2) och cos(x/2) för tan(x/2) sen kommer det lösa sig !

Ev att slutsatsen sinx = 2sin(x/2)*cos(x/2) behövs också.

Ett tips är att sätta exempelvis y=x/2.

Då får man:

tan(y)=(1-cos(2y))/sin(2y)

och enligt ovan nämnda samband

sin(2y)=2sin(y)*2cos(y)

cos(2y)=1-2sin^2(y)

Alternativ 1:

sätt x/2=v

tanv=(1-cos2v)/(sin2v)=(sin^2v+cos^2v-cos^2v+sin^2v)/(2sinvcosv)=2sin^2v/(2sinvcosv)=sinv/cosv=tanv

Alternativ 2:

Först konstaterar vi dessa två identiteter

cos2x=1-2sin^2x --> sin^2x= (1-cos2x)/2 och sin^2(x/2)=(1-cosx)/2
cos2x=2cos^2x-1 --> cos^2x=(1+cos2x)/2 och cos^2(x/2)=(1+cosx)/2

Enligt definitionen för tangens gäller

tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=sin(x/2)cos(x/2)/(cos^(x/2))=(1/2*sqrt((1-cosx)(1+cosx))/(1/2*(1+cosx))=sqrt((1-cosx)(1+cosx))/(1+cosx)=sqrt(1-cos^2x)/(1+cosx)=sqrt(sin^2x)/(1+cosx)=sinx/(1+cosx)=sinx*(1-cosx)/((1+cosx)(1-cosx))=sinx*(1-cosx)/(sin^2x)=(1-cosx)/sinx