Endim tentauppgift

Två segelbåtar A och B kappseglar med konstant (men inte nödvändigtvis samma) fart mot
en (fixerad) målmarkör M. Båt A närmar sig M rakt söderifrån med farten 15 km/h, och
båt B närmar sig M rakt västerifrån. I ett visst ögonblick har båt B dubbelt så långt kvar
till M som båt A har till M, och avståndet mellan båtarna minskar då med hastigheten
25 km/h. Bestäm farten för båt B. Avgör också vilken båt som vinner kappseglingen.

Vilket ska bli: Båt B:s fart är (25√(5) − 15)/2 km/h. Båt A vinner kappseglingen.


Om man bara kör pytagoras på hastigheterna får man 20km/h på båt vilket är nästan samma som facit på 20.45km/h så man kan nog inte göra så, är fast helt enkelt.

Låt x vara sidan för båt A, y sidan för båt B och s sidan för avståndet mellan båtarna (hypotenusan i en rätvinklig triangel). Observera att x, y och s är beroende av tiden

x² + y² = s²

Derivera implicit:

2x·x'(t) + 2y·y'(t) = 2s·s'(t)

Alltså får vi sambandet:

y'(t) = 1/y·(s·s'(t) - x·x'(t))

Vi tittar du i den specifika tiden t₀ och där gäller att:

s'(t₀) = -25 km/h
x'(t₀) = -15 km/h

Dessutom gäller att 2x(t₀) = y(t₀) och såklart enligt Pythagoras sats att s = √(x(t₀)² + y(t₀)²) = √(x(t₀)² + (2x(t₀))²) = √(5x(t₀)²) = x(t₀)√(5). Detta ger oss alltså att:

y'(t₀) = 1/(2x(t₀))·(x(t₀)√(5)·(-25) - x(t₀)·(-15)) = ... = (15 - 25√(5))/2

Eftersom hastigheten var konstant gäller att y'(t) = (15 - 25√(5))/2 km/h och såklart även att x'(t) = -15 km/h som givet i uppgiften. Fart ska ju vara positiv (oberoende av riktning) och därmed har vi att båt B:s fart är (25√(5) - 15)/2 km/h medan båt A:s fart är 15 km/h.

Vem vinner? Ja, avståndet är ju dubbelt så långt till mål för båt B jämfört med båt A så för att båt B åtminstone ska kunna gå i mål exakt samtidigt måste båt B:s hastighet vara dubbelt så stor som båt A:s. En enkel överskattning:

(25√(5) - 15)/2 < (25√(9) - 15)/2 = (25·3 - 15)/2 = 60/2 = 30

Alltså kan båt B:s fart INTE vara dubbelt så stor som båt A:s och båt A kommer att vinna kappseglingen.

Tack så mycket!! Fick hjälp att lösa på ett annat sätt (komposantuppdelning) men det här var mycket smidigare