Hur ska man göra för att gå från 1/x till antiderivatan ln(x) + C?

Den här antiderivatan gör mig lite konfunderad.
I vanliga fall ska man ju kunna antiderivera en sån här typ av funktion genom att höja exponenten med 1 och sedan derivera med det värde som exponenten därefter har fått, men det verkar ju inte fungera när man ska antiderivera 1/x = x^[-1].
Det resultat som jag då får är (x^[-1+1])/(-1+1) = (x^0)/0;
och division med noll är ju inte särskilt populärt inom matematik, och det leder definitivt inte till resultatet ln(x) + C.
Så hur ska man göra här?

Testa att härleda derivatan av ln(x) med derivatans definition.

Går som ovan att härleda genom derivatans definition. Går även att använda kedjeregeln:

Genom y = y(x) definierar vi y = ln(x) och vi har y = lnx ⇔ e^y = e^(lnx) = x. Kedjeregeln:

d/dx e^y = e^y·y'(x) = d/dx x = 1 ⇔ y'(x) = 1/e^y = 1/x

Alltså gäller omvänt att ∫ 1/x dx = ln(x) + C där C är en godtycklig konstant.

För ε > 0 gäller
∫_1^x (1/t^(1+ε)) dt = [(-1/t^ε) / ε]_1^x = (1 - 1/x^ε) / ε = (1 - e^(-ε ln(x)) / ε
= (1 - (1 - ε ln(x) + O(ε²))) / ε = (ε ln(x) + O(ε²)) / ε = ln(x) + O(ε)
→ ln(x) då ε → 0.