Varför kan man räkna ut arean under en graf genom att integrera mellan två punkter?

Jag vet hur man räknar ut areor under grafer, men däremot vet jag inte exakt varför man kan integrera sig fram till dem.
Riemann-summorna var ganska enkla att förstå, men hur kan det komma sig att man kan få fram samma sak med hjälp av integraler?
Vad är det egentligen som händer när jag integrerar en funktion mellan a och b?
Hur kan det komma sig att den primitiva funktionen till en graf blir hela området under grafen?

Som du sett med Riemannsummorna är en yta summan av dess delar, dvs, du kan klippa en yta i små strimlor och den totala ytan kommer vara densamma.

Låt oss nu säga att du har en yta under Y en graf f och ska sätta ihop ytan bit för bit och varje strimla är dx bred. Ytan Y blir lite större för varje bit yta du lägger till. För varje längd dx du lägger till blir ytan dY större. Efter som strimlan är en rektangel (om du klippt dina remsor tillräckligt fint) är förändringen för varje steg dY = f(x) dx (dvs höjden, vilket är avståndet från 0 till grafen, dvs värdet på f, gånger bredden på den smala rektangeln, dx)

När du satt ihop hela ytan Y så är detta alltså summan av de små fragmenten Y = Summa (dY) = Summa ( f(x) dx). Om vi gör dx oändligt litet blir det Y = ∫f(x) dx (plus lite gränser och grejer).

Alltså
Y = ∫f(x) dx

Nu hjälper inte detta jättemycket i sig, eftersom vi fortfarande inte vet hur vi ska hantera det jobbiga summeringstecknet. Vi kan då skriva om dY = f(x) dx till dY/dx = f(x), vilket gör att

Y = ∫(dY/dx) dx

dvs om du går från ytan till grafen ska du derivera. Ska du då gå åt andra hållet måste du göra det tvärt om.

Kalla areafunktionen för A(x), dvs arean under en godt. funktion f från neg oändligheten fram till x (samt negativ area då f ligger under x-axeln). Då är strimlan A(x + h) - A(x) ungefär f(x) * h. Dividera med h och gör gränsövergång så ser du att areafunktionens derivata är f(x) (obs: nu viftar jag med händerna...)