Koordinatsystem

Enligt litteratur jag läser kan planet beskrivas som R^2 = {(x,y) : x Є R och y Є R}.

Varför kallas planet för R^2?

R² betyder att koordinatsystemet består av reella tal (R) i två dimensioner (²).
På samma sätt betyder R³ att koordinatsystemet har tre dimensioner.

Det klassiska X-Y-koordinatsystemet som man sysslar med under högstadiet och gymnasiet är ett exempel på ett koordinatsystem i R², eftersom det har två dimensioner - längd och höjd.

Planet kallas för R² eftersom det har en utsträckning i två dimensioner, precis som ett oändligt tunt pappersark.

Ok, så man ska inte tolka R² som R upphöjt till två? Alltså som R*R?

Nej, men på sätt och vis kan man säga att det är "i kvadrat", eftersom det handlar om två dimensioner med oändligt många reella tal.
Men egentligen är R² en beteckning som säger "reella tal i två dimensioner".

Den här videon beskriver det hela rätt bra:

https://www.youtube.com/watch?v=lq4_-3-01xw

Man sysslar väldigt mycket med sånt här i linjär algebra.

Notera att antalet dimensioner faktiskt kan bestämmas vara hur högt som helst, det är till och med väldigt vanligt att man jobbar med matriser och vektorer som har flera tusen dimensioner.
Men då handlar det förmodligen inte om just rumsliga dimensioner, utan mer om värden som har ordnats på olika sätt i relation till varandra.

Givet en uppsättning mängder [;M_1, M_2, \ldots, M_n;] kan man bilda den kartesiska produkten [;M_1\times M_2\times \ldots M_n;] (notera att man använder ett kryss som operator för kartesisk produkt), vilket är alla uppsättningar av ett objekt från [;M_1;], ett från [;M_2;] och så vidare. Om [;M_1=M_2, M_2=M_3;] och så vidare latar man sig genom att skriva [;M^n;]. I fallet [;M=\mathbb{R};] och [;n=2;] menar man med [;\mathbb R\times \mathbb R =\mathbb R^2;] alla par av reella tal, alltså ett talplan.

Ok tack! Blev mycket klarare nu. Om man ser R som antalet reella tal (oändligt), så skulle multiplikationen R*R kunna motsvara antalet talpar i planet! Nu är det ju nog inte så det är, men en kul påhittad förklaring!!


Okej, då är alltså en kartetisk produkt definierat som något skilt från den vanliga multiplikationen. Och därför skriver man [;\mathbb R^2;], för att man använder samma notation för två olika operationer (och dessutom befinner vi oss i ändra mängder här dessutom).