Exakt hur använder man sig av linjära avbildningar?

Skulle ni kunna ge mig några enkla grundläggande tips på olika praktiska användningsområden för linjära avbildningar?
Låt oss exempelvis säga att jag transformerar en vektor i R^n över till R^m, vad får jag för information av det?
I vilka situationer skulle en sån avbildning vara praktiskt användbar, och hur vet man vilken matris som skapar just den önskvärda avbildningen?

T.ex. kan man vid beräkning av flödesintegraler vilja göra en linjär avbildning för att få ett enklare integrationsområde.

Ett exempel ur vardagen skulle väl vara en projektion av en vektor 3 dimensioner ner till 2 (avbildning på en datormonitor, t ex).

Lineär algebra är mer än att transformera vektorer, det kommer du märka. Men det är klart, praktiska användningsområden blir det nog lite svårare med...