Frågor om ekvationer och andra naturvetenskapliga uppgifter

Hur får man fram vinklarna mellan en rät linje och x-axeln genom att utnyttja linjens lutning och ett trigonometriskt grundsamband? Hur beräknar man sen de två vinklarna mellan linjerna x+y=5 och 2x+y+4=0?

Antag att jag har en lång serie X-värden parade med Y-värden. Antag vidare att jag vill fast ställa en statistisk relation mellan X och Y. Enligt någon teori så borde relationen mellan Y och X ha följande funktionella form:

Y = a*ln(b/(X-c))

Hur går jag till väga för att fastställa värde på a, b och c? Linjär regression känner jag till väl. Men detta är ju icke-linjärt om något. Grejen är att jag bara har en enda beroende variabel, X, vilket borde underlätta. Principen med "curve fitting" förstår jag väl och där kan jag nog alltid hitta en hyfsad lösning på ett eller annat sätt.

Men med linjär regression så har man ju en hel katalog med antaganden att verifiera och vid behov och om möjligt justera de involverade variablerna. Med icke-linjär regression så har jag ingen aning om vad jag ger mig in på. Finns det en motvarande "katalog" för det? Är det verkligen bara att minimera de kvadrerade differenserna och blunda?

Att minimera kvadratsummorna är fortfarande bästa sättet (för de allra flesta tillämpningar - dvs om "bruset" är nära-Gaussiskt). Jag vet inte vad du menar med att man har en "katalog med antaganden att verifiera och och vid behov och om möjligt justera de involverade variablerna." Endera använder du ett färdigt analysprogram eller så gör du det för hand. Om du gör det "för hand" så får du implementera en variant av ex. Gauss-Newton eller Levenberg-Marquardt. Båda metoderna bygger ju på någon variant av att antaga ett startvärde för [a,b,c], beräkna kvadratsumman, ändra parametrarna lite och se i vilken riktning (i [a,b,c]-rummet) kvadratsumman minskar, och förändra [a,b,c] i den riktningen. Upprepa tills S är minimal.

http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Newton_algorithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Levenbe...ardt_algorithm

Oj, läste lite fel. nm.

Jo, med "katalog" (som jag tror är en etablerad term) så menar jag en checklista med antaganden som måste gälla för att den linjära regressionen ska vara användbar som prognosverktyg (funktionen ska generera värden som är väntevärderiktiga och inte är skevt fördelade).

Det handlar bl.a. om att feltermerna ska vara normalfördelade, ha konstant varians och inte vara autokorrelerade. Skulle något av de antagandena inte vara uppfyllt, så kan man t.ex. pröva att genomföra regressionen på differerade värden av sina tidsseriedata eller vad det nu är för variablar man har, och se om feltermerna då uppför sig bättre. Eller så kan man vikta sina varabelvärden för att få bort t.ex. heteroskedasticitet.

Det är ju inte själva kurvinpassningen som är det svåra, utan att ta reda på huruvida den kurvan verkligen är användbar som ett prognosverktyg eller ej. Det känns ännu viktigare vid icke-linjär regression eftersom det borde vara desto lättare att överdriva anpassningen av kurvan så att den passar perfekt för just de historiska data man har, men inte fångar de mer generella samband som gäller för framtida data också.

Jag har alltså läst ekonometri, statistik för ekonomiska tillämpningar. Jag minns att jag en gång frågade professorn om inte icke-linjär regression vore användbart. Linjära modeller borde ju ge onödigt stor varians i prognoserna om det verkliga sambandet är icke-linjärt. Men han sade att det inte är så farligt som det kanske ser ut. Med linjär regression så kan man ju ändå manipulera variablernas funktionella form, vilket delvis skulle motsvara att ändra koefficienternas funktionella form.

Om han har rätt så skulle den icke-linjära formeln Y = a*ln(b/(X-c)) kunna ersättas med en linjär regression typ Y = e*X + f*ln(1/X) + g/X + h*X^2 med hyfsat resultat.

Du kan använda exp() för att transformera om ekvationen,men den blir inte helt linjär.

exp(Y) = exp(a)*(b/(X-c)) => exp(Y)*(X-c)=A*b, då får du parameterestimeringsproblem i A (som är exp(a)) , b och c istället. Dock ej linjär pga. A*b termen.

Nu kommer vi ju nästan in på skattning istället för kurvanpassning. Om feltermerna är normalfördelade så är minsta-kvadratmetoden bra, annars bör du utföra någon typ skattning av den "fel-fördelning" du verkligen har.

Jag vet inte riktigt vad du menar med att "manipulera variablernas funktionella form". I vissa fall kan ett problem som ser ut att vara icke-linjärt överföras på linjär form. Det är dock inte fallet med ditt exempel.


Givetvis kan du alltid ersätta en icke-linjär formel med en linjär av typen som du anger ovan men då ökar ju antalet parametrar. Målet bör givetvis vara att minimera antalet parametrar eftersom redan 4-5 parametrar är väldigt mycket. I ekonomin kanske det inte är en lika stor fråga eftersom man inte har lika många bra modeller för förväntat beteende. I fysiken däremot vet man ofta exakt vilken form en kurva ska ha, och då ansätter man inte ett polynom med många variabler, utan ex. en Lorentz-kurva med få variabler.

Om du tror att funktionen är av typen Y = a*ln(b/(X-c)) så är det mycket bättre att anpassa icke-linjärt till denna funktion istället för att anpassa linjärt till ex. Y = e*X + f*ln(1/X) + g/X + h*X^2.

Du startar från Y = a*ln(b/(X-c)). Exponentierar du fås

exp(Y) = exp(a*ln(b/(X-c)) = (b/(X-c))^a.

Alltså, exp(a*ln(b/(X-c)) är inte lika med exp(a)*exp(ln(b/(X-c)).

Nä det har du rätt i, blandade ihop exponentiallagarna slarvigt där.

Skulle vilja ha hjälp med två problem, gärna en medföljande förklaring och inte bara svar.

Förenkla.

1: (1/x)/y - (1/y)/x + 1/(2y/x) + 2/(x/y)

2: (a/b+b/a+2) / (1/b-b/a^2)

Tack på förhand.

Edit: Skulle också vilja vet hur man får fram MGN i följande tal:

1/x(x+2) - (x+1)/(x-2)(x+2) + 1/(2x*x)

1:
(1/x)/y - (1/y)/x + 1/(2y/x) + 2/(x/y)

Vi har att (1/x)/y - (1/y)/x = 0 först, anledningen till det är att (1/x)/y = 1/(xy) och (1/y)/x = 1/(yx) ... så de tar ut varandra. Ser man inte det så är ju (1/x)/y samma sak som (1/x) * y^(-1) = x^(-1) * y^(-1) = 1/(xy) och liknande för den andra.
1/(2y/x) = x/(2y) eftersom 2y/x = (x/2y)^(-1)
2/(x/y) = 2y/x

Så x/(2y) + 2y/x, MGN för detta är 2yx, d v s förläng till:
x^2/(2xy) + 4y^2/(2xy) = (x^2 + 4y^2)/(2xy)

2:
2: (a/b + b/a + 2) / (1/b - b/a^2)

Börja med a/b + b/a + 2, MGN är uppenbarligen ab så:
a^2/(ab) + b^2/(ab) + 2ab/(ab) = (a^2 + b^2 + 2ab)/(ab) = (a + b)^2/(ab)

1/b - b/a^2
MGN för detta är ba^2 så:
a^2/(ba^2) - b^2/(ba^2) = (a^2 - b^2)/(ba^2)

Vilket ger:
((a + b)^2/(ab))/((a^2 - b^2)/(ba^2))
(a + b)^2 * ba^2 * (ab)^(-1) * (a^2 - b^2)^(-1)

ba^2 * (ab)^(-1) = a ger:
a * (a + b)^2/(a^2 - b^2)
a * (a + b)(a + b)/((a + b)(a - b))
a * (a + b)/(a - b)

3: 1/x(x+2) - (x+1)/(x-2)(x+2) + 1/(2x*x)

MGN för detta, vi samlar alla faktorer som finns
x, (x + 2), (x - 2), 2x^2

Nu finns faktorn x i 2x^2 så denna är onödig, MGN är:
(x + 2)(x - 2)*2x^2

Anledningen till att det är just det? Det är det minsta polynom så att alla där nere (nu har jag glömt bort namnet ) delar polynomet. Man kan säkert skriva det formellt med att om:
1/a_1(x) + 1/a_2(x) + 1/a_3(x) ... så är MGN det minsta polynom som är produkten av a_i(x):s irreducibla faktorer, fast lite mer formellt då :P.

Tja! kommer ihåg att min lärare bevisade lösningsformen genom att göra någon slags faktorisering en på vanlig andragradsekvation, x^2 - px + q = 0.
Nu har jag såklart glömt av det hela och undrar om det är någon som vet vad jag menar och kan bevisa den, helst med både ord och siffror så det finns lite förklaring också
Tack på förhand!