Frågor om ekvationer och andra naturvetenskapliga uppgifter

Återigen ett matte-D problem:

"Bestäm den primitiva funktionen F(x) som för X=2 antar värdet -1 om:

1/ (3-x)^2 - ettan är alltså "ovanpå" i pappersskift.

Enligt facit blir det 1/(3-x)-2, men jag förstår inte varför X^a = (x^a+1)/(a+1) formeln inte längre gäller, använder man den så får man förvisso (3-x)^-1, men det ska ju delas med -1? Var tar minustecknet vägen?

Kan någon hjälpa mig med fysiken?
Carl har byggt en träkoja i en lind 3,8 m ovanför marken. Eftersom han är tekniskt begåvad har han placerat ett block på en gren vid kojan. Genom blocket har han dragit ett rep i vilket han fäst en platta man kan stå på. Carl som själv väger 39kg, lyckas övertala sina kompisar Anna (32kg) och Maria (34kg) att dra upp honom. Han ställer sig på plattan och flickorna hjälps åt att dra i repets andra ände. När Carl är halvvägs upp till kojan tappar Anna taget, men Maria hänger kvar.
a) med vilken hastighet träffar Carl marken?
b) hur högt når maria?

Eftersom det inte står något annat så antar jag att plattan som Carl står på inte väger något.

När Maria hänger i repet "upphäver" hon 34 kg av Carls massa, alltså kan man tänka sig att problemet är formulerat som:

Vilken hastighet hinner ett föremål med massan 5 kg få under fritt fall på 1.9 m?

Accelerationen är konstant, vilket gör uppgiften lättare:

Ur sambandet v^2 - v0^2 = 2as får vi, om v0 = 0, v^2 = 2as, vilket i sin tur ger oss sambandet

v = sqrt(2as)

a = g = 9.82
s = 1.9 m

v = sqrt(2 * 9.82 * 1.9) m/s = 6.1 m/s

Carl har hastigheten 6.1 m/s när han slår i marken.

Maria borde väl hamna 1.9 meter upp i luften, förutsatt att blocket inte har någon sorts utväxling eller dylikt.

Om detta stämmer överens med facit kan vi väl säga att jag har rätt, annars kan du få skälla på mig lite. Någon rättar mig säkert om jag har gjort några misstag ändå

I facit står att han har 1.6 m/s när han träffar marken och hon kommer 2,0m upp i luften

f(x) = 1/ (3-x)^2

Undersök först f(x) = 1/x^2 = x^(-2). Då följer som påpekats att F(x) = x^(-2+1)/-2+1 = -1/x

Men anta nu att vi har F(x) = (a-x)^-1. Då är derivatan F´(x) = -1·(a-x)^(-2)·d/dx(a-x) , dvs man måste även ta hänsyn till inre derivatan, i detta fall blir den -1.

Då fås: F´(x) = -1/(a-x)²·(-1) = 1/(a-x)²

Behöver hjälp med 3 matte-tal.

1. Lös ekavtionen: 5(x-3)-3(4-2x) = 3-6(8-3x)

2. K-värdet för en rät linje är 3 och M-värdet är -3.
Skriv linjens ekvation och rita linjen i ett kordninatsystem.

3. omkretsen av en rektangel är 4x cm. Rektangelns längd är (x+1) cm.
a) skriv ett så enkelt uttryck som möjligt för rektangelns bredd.
b) Visa att den längden alltid är 2cm längre än bredden.

ALLA SVAR MÅSTE VARA MED UTTRÄKNING OCH TYDLIGT VISAT HUR MAN RÄKNAR UT DET!

Skulle vara riktigt sjysst om nån vänlig själ kan tänka sig att försöka sig på att lösa någon!

Tack på förhand
/Mathias

Behöver hjälp med följande uppgift (Fysik B):

En boll ska skjutas 45m (i xled i en kastparabelbana). Utgångshastigheten ska vara 30m/s, luftmotståndet försummas och g antas vara 10. Vilka är de två alternativa vinklar som utgångshastigheten kan bilda med markplanet?

tack för hjälp

Principen är att göra samma sak på båda sidor likhetstecknet.

Först, skriv ut parenteserna:
5(x-3)-3(4-2x) = 3-6(8-3x) => 5x-15-12+6x = 3-48+18x

Sedan, lägg ihop:
5x-15-12+6x = 3-48+18x => 11x-27 = -45+18x

Gör samma sak på båda sidor likhetstecknet, här dra ifrån 11x:
11x-27 = -45+18x => 11x-27+11x = -45+18x+11x =>
=> -27 = -45+29x

Samma princip, addera 45 till båda led:
-27 = -45+29x => -27+45 = -45+29x+45 =>
18 = 29x

Dividera med 29, vilket ger: 18/29 = x

Resultatet kan kollas genom att sätta n i ursprungsekvationen och se att man får samma på båda sidor:

5(x-3)-3(4-2x) = 3-6(8-3x) , x = 18/29 =>

5(18/29-3)-3(4-2*18/29) = 3-6(8-3*18/29)

Men det får du räkna ut själv.



y = Kx+M, sätt in: y = 3x-3. Rita får du göra själv.


Omkretsen (s) av en rektangel är 2*längden (L) + 2*bredden (b). Då blir det s=2b+2L.
Här är s och L kända, och man kan lösa ut b: s=2b+2L => 2b =s-2L => b=s/2 - L

Vi vet att s=4x, L=x+1 =>
=> b=s/2 - L = 4x/2 -(x+1) = 2x-x-1 = x-1

Då har vi: L=x+1, och b=x-1 vilket ger L-b = (x+1)-(x-1) = x+1-x+1=2

Alltså: längden är alltid 2cm längre än bredden.

Hur många gånger har jag inte trampat i den förrädiska fälla som E-fältet utgör?

Man kan skriva elektriska fältstyrkan runt en elektrisk laddning som E(x) = ax/|x|³, där x är rumskoordinaterna, x = (x1,x2,x3), a är en konstant. Området betecknas Ω, har randytan ∂Ω (sluten yta).

Gauss lag är då (med matematikerna beteckningar på ytintegraler):


Nu är det frestande att använda Gauss sats. Med denna fås:


Räknar man direkt fås: divE(x) = a div(x/|x|³) = 0.

Men detta är fel!!! Felet ligger i att man tillämpar Gauss sats där den inte kan tillämpas!

Gauss sats: man har ett vektorfält v(x) i området Ω, området Ω har randytan ∂Ω (sluten yta), v är kontinuerlig deriverbart överallt i Ω. Beteckna med N(x) ytans yttre (utåtriktade) enhetsnormal. Då gäller:


Men vektorfältet E(x) = a x/|x|³ är inte kontinuerlig deriverbart överallt i Ω. Om origo tillhör Ω så är E inte ens definierat (springer iväg mot oändligheten). Så man kan inte använda Gauss sats direkt.

Man måste vara lite klurig. Låt Ω(r) vara ett område Ω som innehåller origo, men där ett litet klot med radie r och centrum i laddningen (i origo) plockats bort runt laddningen. Då kommer randytan ∂Ω(r) att bestå av 2 olika ytor. Ytan ∂Ω(r) består nu både av den yttre ytan (betecknas med ∂Ω), samt den inre ytan som är sfären med radien r. Randytan ∂Ω(r) är då unionen av dessa 2 helt separata ytor.

∂Ω(r) är randytan till Ω(r), medan ∂Ω är randytan till Ω.

I området Ω(r) kan man nu använda Gauss sats, eftersom origo inte tillhör området (man har ju plockat bort klotet kring origo).

Då fås:
Som tidigare är nu div E = 0 utanför origo, dvs för x≠0. Det ger:


Nu består emellertid randytan ∂Ω(r) av 2 områden, ∂Ω och sfären |x|=r. Då fås:


Minustecknet i den andra integralen kommer av att N är den utåtriktade enhetsnormalen. Här betyder utåtriktad att normalen pekar ut från området Ω, dvs in mot origo, därav minustecknet. Detta ger:

Sista integralen kan lätt beräknas:


I de 2 sista leden används att |x|=r, dvs en konstant ob av x, på sfären |x|=r. Slutligen används ytintegralen (arean) av en sfär:


För ett område Ω innehållande laddningen gäller:
∫<E(x),N(x)> dS(x) = 4πa
∂Ω

Om däremot Ω inte innehållande laddningen gäller:
∫<E(x),N(x)> dS(x) = 0
∂Ω

Så var det också några fysikaliska konstanter som skramlar omkring här. Det är kort uttryckt varför jag brukar trampa i klaveret.

$aa–$bb($cc–($dd–$ee)(–$ff))

Va blir svaret?

Vad är $ ?

Talet är sådär. Är ett av slutprovstalen på KTHs sommarmatte.