Frågor om ekvationer och andra naturvetenskapliga uppgifter

K = (1 + x^2)^(-n)
K = e^(-ny)

eftersom de är samma så är:

e^(-ny) = (1 + x^2)^(-n)

Höj upp båda led i -1/n och få:
e^y = 1 + x^2, logaritmera båda led för att få:
y = ln(1 + x^2)

Om nu inte försäkringsmatematiker räknar underligt

Lite optimeringshjälp önskas!

Bestäm största och minsta värde av funktionen

f(x,y,z) = xyz + xy, i området x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x² + y² + z² ≤ 1

Jag har undersökt och jag har kommit fram till att det inte finns några stationära punkter i det inre. Och sedan har jag kollat alla randpunkter förutom de punkter som ligger på den 1/8-sfäriska randytan (alltså x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x² + y² + z² = 1).

Det största värdet jag har funnit är 1/2 och det låg på "bottenplattan" i definitionsområdet. Men som sagt, jag lyckas inte få ut något bra när jag undersöker den sista randytan och jag skulle bli jätteglad om någon ville förklara hur man gör det på något smidigt sätt!

Tack!

Enhetssfären kan parametriseras genom
x = sin(ψ) cos(φ)
y = sin(ψ) sin(φ)
z = cos(ψ)
För första oktanten (som vi har i detta fall) gäller 0 ≤ ψ ≤ π/2 och 0 ≤ φ ≤ π/2.

Sätt in i f(x, y, z) = xyz + xy = x y (1 + z):
f(sin(ψ) cos(φ), sin(ψ) sin(φ), cos(ψ)) = sin²(ψ) sin(φ) cos(φ) (1 + cos(ψ))
= (1/2) sin²(ψ) sin(2φ) (1 + cos(ψ))

Derivera map ψ och φ.

Varför skulle det bli noll? Man har:

u = v^2/y^2 - y^2
uy^2 = v^2 - y^4
y^4 + uy^2 = v^2
(y^2 + u/2) = v^2 - u^2/4
y^2 + u/2 = sqrt(4v^2 - u^2)/2
y^2 = (-u +- sqrt(4v^2 - u^2))/2
y = +- sqrt((-u +- sqrt(4v^2 - u^2)/2)

Sen får man undersöka vilken av de fyra fallen man ska ta, beroende på vad för information man har om u och v. Till exempel måste -u +- sqrt(4v^2 - u^2) >= 0 vilket gör att man kan undersöka vidare ...

Vektoralgebra igen:

Jag vet inte om a) behövs för att lösa b) men jag tar med den ändå.

a) Bestäm linjen genom punkterna q1 = (4,6,4) och q2 = (5,-2,8).
Det har jag löst och fick: (1,-8,4)t+(4,6,4)

b) Bestäm skärningspunkten mellan linjen och planet givet av ekvationen
5x - y + 4z - 1 = 0

Jag vet inte ens hur jag ska börja här. Skulle uppskatta ett steg för steg genomgång. Tack på förhand.

(1,-8,4)t+(4,6,4) =>
x=t+4
y=-8t+6
z=4t+4

Alltså får vi
5x-y+4z-1=5(t+4)-(-8t+6)+4(4t+4)-1=0
vilket kan lösas för t, som du sedan kan använda för att hitta skärningspunkten.

Okej, här kommer en sak jag inte lyckats lösa trots mycket möda :/

Ur ett klot med radien R tas en vertikal cylinder ut, så att återstoden har
höjden h. Tänk på ett äpple som urkärnas med så bred urkärnare att
de som är kvar får höjden h/2 över xy-planet.
Hur stor blir volymen av de som är kvar?

[...]

Sen vet jag inte hur jag ska få ut volymen för cylindern eller vad
jag ska integrera över... någon som kan hjälpa?