Frågor om ekvationer och andra naturvetenskapliga uppgifter

Avgör om följande funktion är likformigt kontinuerlig på angiven mängd:

f(x,y) = xsin√(y) / (x² + y²)^(1/2) på mängden {(x,y); x∈ℝ, y>0}

Några idéer?

Undrar hur man vet om en generaliserad integral är konvergent eller divergent, och hur man i första fallet beräknar värdet.

ex:
S(3/X^4)dx ska vara konvergent med värdet 1.

S(X^-2/3)dx ska vara divergent.

Båda integralerna är i intervallet 1 till oändligheten... dvs 1 under integraltecknet och "oändlighetstecknet" över integraltecknet.

Hur vet man om ovanstående integraler är konvergenta/divergenta och ev deras värde??

Grymt tacksam för hjälp!

Ta fram en primitiv funktion till dessa, och när gränsen är oo, -oo eller annat "konstigt" så beräknar du gränsvärdet. Exempelvis § 1/x dx för x = 1 till x = oo, då är en primitiv till 1/x ln x och då är integralen lika med x -> oo (ln x - ln 1), vilket ej konvergerar och därför är ej integralen konvergent.

Och lika med de andra.

Tack. Men jag fattar fortfarande, hur vet man om det är konvergent eller divergent?? Jag kan räkna fram gränsvärden som ser ut t. ex (1-1/t) eller kanske 3(3-t^2/3) osv men jag fattar inte hur man ser om gränsvärdet "existerar eller inte"?

Säg integralen:

§ x^(-2/3) dx som du hade, en primitiv till x^(-2/3) är 3x^(1/3) och därför är integralen § x^(-2/3) dx = [3x^(1/3)], sätter du nu in den övre gränsen x = oo så blir 3x^(1/3) oändligt stor och den undre gränsen x = 1 ger 3, så det blir oo - 3 (lite fult att säga så men) som gränsvärde vilket ej är konvergent. Du sätter bara in över- eller undergränsen.

Något allmänt tips för att se gränsvärden finns egentligen inte, memorera eller lära sig klura ut. I dessa fall som du har är det ju att ta fram en primitiv och en intergral a till b ges ju av F(b) - F(a), så om a,b är ändliga och F är 'snäll' så är det ju bara att sätta in. Är däremot någon eller båda av dem av typen oo, -oo eller annat så får man låta variabeln gå mot det. Exempelvis för en integral av typen 1 till oo, så är b = oo och a = 1 och integralens värde blir därmed:

lim b -> oo F(b) - F(1)

När b -> oo om F(b) - F(1) är ett ändligt värde sägs integralen vara konvergent, annars divergent.

Tips: Logaritmer förvandlar produkter till summor. Säg:

F = Prod (1 + Hki) då är
ln F = ln { Prod (1 + Hki) }

Men ln av detta är lika med summan av logaritmerna så:

ln F = Sum ln(1 + Hki)

Derivera bägge led, du får ex i VL att F'/F och i HL ett annat uttryck, multiplicera sen med F och förläng så får du ett slutet uttryck för F'.

Jag har en mekanikfråga:

Två små kulor, den ena med massan m och farten v och den andra med massan M och farten V, fastnar samtidigt på en horisontell stångs vassa ändpunkter. Kulornas hastigheter är vinkelräta mot stången. Stången som har längden 2l (lilla L) kan rotera runt en glatt vertikal axel genom stångens mittpunkt. Bestäm systemets vinkelhastighet.

Tacksam för hjälp!

Har två frågor,

1. Hitta 5 stycken ortogonala vektorer till u=(5,-2,3)


2, Visa att A(3.0.2), B(4,3,0) och C(8,1,-2) are vertices of a right triangle, At which vertex is the right angle?

tacksam

Tjena! Har suttit med en uppgift som jag fasen inte fattar hur man löser.

Grafen till y= 0,5X + 1 roterar kring x-axeln. Beräkna rotationskroppens volym mellan X=0 och X=3

Tack på förhand.

Tack! Så långt är jag med.

Men här går det lite för fort för mig:


Är lnF=F'/F?

Vilket uttryck får man i HL?

Är du säker på att du skrivit rätt siffror här?

Nej, ln F är inte F'/F. Derivatan av ln F är F'/F. *asshole mode on*. "Bevis": säg:

g = ln F där g och F är funktioner av x, höja upp båda funktioner i e ger:
e^g = F, derivering enligt kedjeregeln på bägge led ger nu:

g' * e^g = F'
g' = F'/e^g, men e^g = F enligt tidigare rad så:
g' = F'/F

Alltså är (ln F)' = F'/F.

Edit: Uttrycket du får i HL är naturligtvis derivatan av alla summor. jag var inte helt säker på vad du menade med Hki därför så lät jag bli att skriva ut :-P