Frågor om ekvationer och andra naturvetenskapliga uppgifter

Är det inte meningen att man ska använda v,t eller s,t graf till B?

Okej, ska fila lite på din taktik.

Schysst, det blev lite lättare att lösa när jag räknade med värmekapaciteten också.

Ber om ursäkt om jag var lite opedagogisk, får skylla på att jag är trött. Lycka till i alla fall!

Det var nog det jag menade när jag skrev v(t)...

Pedagogiskt försök(vetta fan om det lyckas):

s1 = sträcka avverkad under accelerations fasen
s2 = sträcka avverkad med jämn hastighet
s1 + s2 = 100m
a = accelerationen
t1 = tid i acceleration = 2s
t2 = tid i likformig rörelse = 8,8s
v = a * t1= 2a

Först har vi likformigt accelererad rörelse:
s1 = (1/2)*a*t² = (1/2)*a*2² = 2a

Sedan likformig rörelse:
s2 = v*t2 = (a*t1)*t2 = a*8,8*2 = 17,6a

s1 + s2 = 100 = 2a +17,6a = 19,6a
=> a=100/19,6 = 5,10 (ungefär)
=> v= 2a= 10,2 m/s

Inte för att jag har någon erfarenhet av dylika rankingsystem, men ett sätt skulle ju vara att införa en variabel för tiden, T, som t.ex mäts i dagar från det att det går att rösta på objektet, så första dagen är T = 1, andra är T = 2 osv.

Sen beräknar du medelvärdet för T för varje objekt, och delar medelvärdet av poängen på medelvärdet för T. Då får du en skala som sjunker ju mer utspritt rösterna är. Om t.ex 100 personer röster första dan blir ju medelvärdet av tiden 1.

För att inte totala medelvärdet (=Poängmedel/Tidsmedel) inte ska sjunka för snabbt kan du ju t.ex istället för att dela med Tidsmedlet dela med (1+Ln(Tidsmedel)) eller något liknande.

Svarar på första frågan endast, tror inte att jag besitter sådan kunskap om induktion att jag kan ge dig en bättre förklaring här än vad du får i boken tyvärr.

Härledning: Strunta i plattorna eller att den har laddning, har ingen betydelse för frågan. Det är bara ett bra sätt att accelerera laddade partiklar och krångla till frågor. Dom frågar efter hastigheten den kommer att ha efter att ha accelerats i 2ns och du vet accelerationen och begynnelsehastigheten. Kort och gott multiplisera accelerationen med tiden den accelererats och lägg på hastigheten

v0 = Ursprungshastighet = 5,0*10^5m/s
a = acceleration = 3,0*10^14m/s^2
t = tid = 2,0*10^-9s

Formel: v=v0+at =>

v= 5,0*10^5 + 3,0*10^14 * 2,0*10^-9 = 1,1*10^6m/s

Dvs den har mer än fördubblat sin hastighet på två nanosekunder, precis som min kära gamla bil

Beräkna gränsvärdet lim x->1 (x-1)/sin(lnx)

Hur fan gör man? Man kan ju dela nämnaren och täljaren med lnx och få lim x->1 sin(lnx)/lnx vilket är ekvivalent med lim x->0 sinx/x vilket är 1, men sen?

x -> 1 för (x - 1)/sin(ln x). Gör variabelbytet t = x - 1 då går t -> 0. Detta ger då:

t/sin(ln(t + 1)). Det är känt att ln(t + 1)/t -> 1 när t -> 0, alltså kommer ln(t + 1) ~= t för t nära 0 (och ju bättre ju närmare 0 man kommer). Därför kommer ditt gränsvärde att ges av t/sin(t) när t -> 0, detta är ett standargränsvärde med värdet 1.

Hur du menar dela med ln x förstår jag inte riktigt ...

Eller så läter man s = ln(t + 1) då är t = e^s - 1, och vi låter s -> 0 så får vi:

(e^s - 1)/sin(s) = s/sin(s) * (e^s - 1)/s (vi förändrar inte uttrycket, skriver bara om), detta ger då att s/sin(s) -> 1 och (e^s - 1)/s -> 1. Så uttrycket blir 1*1=1. Då slipper man använda det 'fula' att ln(1 + t) ~= t.

Edit 2:
Eller så gör man allt på en gång, låt u = ln x, då är e^u = x <=> x - 1 = e^u - 1 och man får:

(e^u - 1)/sin(u) = u/sin(u) * (e^u - 1)/u när u -> 0 och man får 1*1=1.

Vi inför funktionen h(x,y,z) = y - f(x,z)
Vi ser att y = f <=> nivåytan h = 0
Låt oss betrakta en punkt (x,y,z) = (a,b,c) som är sådan att f(a,c) = b. Denna punkt ligger därmed på nivåkurvan h = 0

Implicita funktionssatsen säger nu att om (dh/dx)(a,b,c) är skilt från noll så är detta ett tillräckligt villkor för att man lokalt kring (a,b,c) ska kunna uppfatta sambandet h(x,y,z) = 0 som en funktionsyta x = g(y,z)

Om nu grad h(a,b,c) är skild från nollvektorn så är grad h(a,b,c) normal till nivåytan h(x,y,z) = 0 i punkten (a,b,c). Denna nivåyta kan ju i närheten av (a,b,c) skrivas som en funktionsyta x = g(y,z). I punkten (a,b,c) har denna yta tangentplanet:
x = g(b,c) + (dg/dy)(b,c)*(y - b) + (dg/dz)(b,c)*(z - c)

Vi vet att g(b,c) = a. Och av implicita funktionssatsen erhåller vi nu att i en omgivning av punkten (a,b,c) gäller:
-(dg/dy)(y,z) = (dh/dy)(x,y,z)/(dh/dx)(x,y,z)
-(dg/dz)(y,z) = (dh/dz)(x,y,z)/(dh/dx)(x,y,z)

Därmed har vi det som behövs för att kunna approximera funktionen x = g(y,z) nära punkten (a,b,c)

Nöjer man sig inte med tangentplanet som approximation av funktionen g nära denna punkt så kan man gå vidare i Taylors formel och även ta med andraderivatorna. Om man ändå inte är nöjd så fortsätter man med tredjederivatorna, fjärdederivatorna och så vidare


Låt oss exemplifiera vad vi nyss gått igenom:
Låt y = f(x,z) = e^x + xz

Vi ser att vi inte kan få fram en explicit funktion x = g(y,z). Vi får alltså nöja oss med att avgöra om det kring vissa punkter är så att x definierar en funktion av y och z. Om x definierar en funktion x = g(y,z) kring en given punkt så är vi i sådana fall intresserade av att approximera g

Vi inför funktionen h(x,y,z) = y - e^x - xz

Eftersom f(0,2) = 1 så ligger (0,1,2) på nivåytan h = 0
(dh/dx)(x,y,z) = -e^x - z
(dh/dx)(0,1,2) = -3 (som är skild från 0)

Lokalt kring (0,1,2) kan vi alltså uppfatta sambandet h(x,y,z) = 0 som en funktionsyta x = g(y,z). Vi ska nu approximera denna (lokala) funktion med sitt eget tangentplan. I punkten (0,1,2) så finner vi att funktionsytan g har följande tangentplan:
x = g(1,2) + (dg/dy)(1,2)*(y - 1) + (dg/dz)(1,2)*(z - 2)

Vi vet att g(1,2) = 0

Vi finner att:
(dh/dy)(x,y,z) = 1
(dh/dz)(x,y,z) = -x

Vi använder oss nu av implicita funktionssatsen och erhåller:
-(dg/dy)(1,2) = (dh/dy)(0,1,2)/(dh/dx)(0,1,2) = 1/(-3) = -(1/3)
-(dg/dz)(1,2) = (dh/dz)(0,1,2)/(dh/dx)(0,1,2) = 0/(-3) = 0

Tangentplanets ekvation blir därmed:
3x - y = -1
Och av detta följer det som är intressant för vår del:
x = (y-1)/3 = (1/3)y - (1/3)

I en omgivning av punkten (0,1,2) så definierar funktionsytan y = e^x + xz implicit en funktion x = g(y,z). Denna funktion approximerar vi med x = (1/3)y - (1/3)