1. 4x^2-x^3 < 0
Genom att multiplicera med -1 så "vänder" man på olikheten. Vi kan därmed skriva:
x^3-4x^2 > 0
Vi bryter ut x^2 och erhåller:
x^2(x-4) > 0
På vänstersidan har vi två faktorer. Deras nollställen är av intresse då man gör teckenstudie
x^2 = 0 då x = 0 och x-4 = 0 då x = 4
I vår teckenstudie är vi intresserade av fem olika fall, nämligen
x<0, x=0, 0<x<4, x=4 och x>4
x<0 medför att x^2>0 och x-4<0 varav x^2(x-4)<0
x=0 medför att x^2=0 0ch x-4<0 varav x^2(x-4)=0
0<x<4 medför att x^2>0 och x-4<0 varav x^2(x-4)<0
x=4 medför att x^2>0 0ch x-4=0 varav x^2(x-4)=0
x>4 medför att x^2>0 och x-4>0 varav x^2(x-4)>0
Vi betraktar detta och ser att:
Svar: x > 4
2. (x+1)(6x-x^2-5) > 0
Vi är intresserade av vänstersidans nollställen. Vänstersidan är 0 då x+1=0 eller då 6x-x^2-5=0
Så här härleder man lösningsformeln till andragradsekvationen:
ax^2+bx+c = 0 där a är skilt från 0
Vi dividerar båda sidor med a och får:
x^2+px+q = 0
x^2+px+(p/2)^2-(p/2)^2+q = 0
På grund av kvadreringsregeln (a+b)^2 så ser vi att vi kan skriva:
(x+p/2)^2-(p/2)^2+q = 0
(x+p/2)^2 = (p/2)^2-q
x+p/2 = -sqrt[(p/2)^2-q eller
x+p/2 = sqrt[(p/2)^2-q]
sqrt = roten ur
Det betyder att x^2+px+q = 0 har de två lösningarna
x = -p/2-sqrt[(p/2)^2-q] eller
x = -p/2+sqrt[(p/2)^2-q]
Vi återgår till uppgiften
6x-x^2-5 = 0
Vi multiplicerar båda sidor med -1 och får:
x^2-6x+5 = 0
Vi jämför med x^2+px+q = 0 och ser att p=-6 och q=5
Lösningarna blir alltså:
x = 3-sqrt(3^2-5) = 3-sqrt(4) = 3-2 = 1 eller
x = 3+sqrt(4) = 5
Enligt faktorsatsen är då x-1 och x-5 faktorer i vårt andragradspolynom, dvs
6x-x^2-5 = -(x-1)(x-5)
Man kan lätt kontrollera att detta är rätt:
-(x-1)(x-5) = (1-x)(x-5) = x-5-x^2+5x = 6x-x^2-5
(x+1)(6x-x^2-5) = -(x+1)(x-1)(x-5) = (x+1)(1-x)(x-5) > 0
I vår teckenstudie är vi intresserade av sju olika fall, nämligen
x<-1, x=-1, -1<x<1, x=1, 1<x<5, x=5, x>5
x=-1, 1 eller 5 medför givetvis att (x+1)(1-x)(x-5)=0
x<-1 medför att x+1<0, 1-x>0 och x-5<0 varav (x+1)(1-x)(x-5)>0
och så vidare. Man går igenom de olika alternativen och finner:
Svar: x<-1 eller 1<x<5
3. 4x^2-x^3 > 3x
4x^2-x^3-3x>0
x(4x-x^2-3)>0
Lös denna på samma sätt som uppgift 2
Svar: x<0 eller 1<x<3
botten lutar och båda sidorna har olika lutninger, samt att det är rundat.... undra om man inte behöver använda sig av mätinstrument lr något :S
På ett ställe har jag skrivit x+3. Det ska naturligtvis stå x-3. Gränsvärdet blir därmed -0.5 
Vet inte hur jag kommer fram till uttryckets nollställen 