Frågor om ekvationer och andra naturvetenskapliga uppgifter

Nu har jag stött på ännu ett problem, har lösningen från min lärare och allt, men jag förstår inte riktigt hur läraren har tänkt.

En fåraherde sa till en annan fåraherde. Ge mig 6 av dina får så har vi lika många. Nej, sa den andre fåraherden, ge mig 6 så har jag dubbelt så många som du. Hur många får har de båda herdarna?

Och här kommer lösningen:


Ekvationen:
x + 6 = x - 6
y + 6 = 2x - 6

Och uträkningen:
x + 6 = 2y - 12 - 6

x - 2x = -12 - 6 - 6
-y = -24

x = 24

24 + 6 + 6
y = 36

Jag förstår inte hur det senare går ihop för om herde X ger 6 av sina får till herde Y, blir det X=18 och Y=42, och det är inte dubbelt.

Första herden har x st får. Andra herden har y st får.

Första herden får 6 st får från andra herden:
x1 = x + 6, y1 = y - 6
x1 = y1

Andra herden får 6 st får från första herden:
x2 = x - 6, y2 = y + 6
y2 = 2 x2

Ekvationssystem:
x + 6 = x1 = y1 = y - 6
y + 6 = y2 = 2 x2 = 2 (x - 6)

Lösning:
x = 2 (x - 6) - (x + 6) + 18 = (y + 6) - (y - 6) + 18 = 30
y = x + 12 = 42

Test:
x + 6 = 36 = y - 6
y + 6 = 48 = 2 * 24 = 2 (x - 6)

Hallå, har problem med en uppgift som jag inte vet hur jag ska bevisa, diskmatte.

Visa att för alla n i Z+ :6 | (n^3 - n).

Alltså bevisa att alla positiva heltal man sätter in där kommer gå att dela på 6, vill använda induktion men vet inte hur jag ska ställa upp uttrycket.

Hälp, någon..?

n^3 - n = n(n - 1)(n + 1)

Minst ett av talen är jämna, och det är tre på varandra följande tal n-1, n, n+1 ... en av dessa är alltså delbara med 3 vilket ger att n^3 - n är delbart med 2*3 = 6.

Aha, så själva beviset blir att det alltid kommer att bli ett jämnt tal, och på så sätt delbart med 6?

Nej, du vill visa att det alltid är delbart med 6 och 6 = 2*3 så du visar att 2 | n^3 - n och 3 | n^3 - n så medför det att 6 | n^3 - n.

Del 1)
Delbart med 2, n^3 - n = n(n - 1)(n + 1), om n är jämnt så 2 | n, om n är udda så 2 | n - 1 och 2 | n + 1 ... så 2 | n^3 - n

Del 2)
Delbart med 3, n^3 - n = n(n - 1)(n + 1), ordna talen i storleksordning, n-1, n, n + 1 ... om du har tre på varandra följande tal så är minst ett av dessa delbart med 3. Detta eftersom alla tal n kan skrivas på formen n = 3m + k där k=0,1,2 ... så välj n = 3m + k då får du:

(3m + k)(3m + k - 1)(3m + k + 1)

Om k = 0 så 3 | 3m ...
Om k = 1 så 3 | 3m + k - 1
Om k = 2 så 3 | 3m + k + 1

Alltså är n-1,n,n+1 alltid delbart med 3.

Del 3)
Alltså eftersom 2 | n^3 - n och 3 | n^3 - n så gäller att 6 | n^3 - n.

En sportbil påstås kunna öka sin hastighet v m/s enligt ekvationen

v = 55 (1 - 0,9^t)

där t är antalet sekunder från start.

Bestäm v'(15) och tolka dess värde.


Behöver hjälp som fan med det här snabbt då jag har prov imorrn! Såhär har jag gjort men det blir helt fuckat :S :

v = 55 (1 - 0,9^t)

v = 55 - 49,5^t

v'(t) = -49,5*ln(-49,5)

men det går ju inte att köra med ln eftersom det är negativt så hur gör man?

Jag är evigt tacksam till den som hjälper mig

v = 55 * (1 - 0.9^t)
v = 55 - 55*0.9^t
v' = 0 - 55*0.9^t * ln(0.9) = -55*0.9^t * ln(0.9)
v'(15) = -55*0.9^15 * ln(0.9) = 1.19... ~= 1.2m/s^2

Alltså accelerationen är 1.2m/s^2.

Jag skulle behöva hjälp med den här uppgiften.


http://img113.imageshack.us/img113/9...2119ph2.th.jpg

Bilden är lite kass

Frågan lyder:

Kropparna är likformiga. Hur stor är volymen V?

Till vänster är höjden är höjden 16 och volymen 960 cm3.

Till höger är höjden 12 och volymen okänd.

Hur gör jag? Väldigt tacksam för svar!

yeah!! Tack som fan !

I detta fall måste vi räkna "baklänges".

Först måste vi sätta ut hur de två figurerna förhåller sig till varandra, och detta är väldigt enkelt eftersom de är likformiga.
Figur 1 har höjden 16 cm och volymen 960 cm3, figur 2 har höjden 12 cm och volymen är okänd.
Vi kan då använda höjden, 16:12 = 4:3.

Sedan ska vi räkna ut hur stor de andra sidorna i figur 1 är.

960*2= 1920 cm3 (Vi gör så här för att få ut volymen på hela kuben)
1920/16= 120 cm2
(Vi har nu fått ut hur stor bottenarean är)
Vi kan sedan sätta ut två värden t.ex.
12*10= 120cm2

Vi har nu bestämt de båda sidorna i figur 1.

Sedan kan vi bara använda detta med förhållandet som vi tidigare bestämde.

12*0,75= 9
10*0,75= 7,5

(0,75 är alltså förhållandet i decimalform, 3/4= 0,75)

Sedan räknar vi ut volymen för figur 2:

7,5*9= 67,5
67,5*12= 810
810/2= 405 cm3

Volymen för figur 2 är alltså 405 cm3

Jag är inget proffs på matematik, men eftersom jag är någorlunda insatt i enkla volymberäkningar gick det OK. Jag fick också ta vissa värden ur tomma luften eftersom jag inte visste om figuren var liksidig eller om bottnen var kvadratisk formad. Men denna metod går lysande att använda när det finns andra värden likaså.

På liknande sätt kan man enkelt bevisa ett påstående om primtalstvillingar:
Om p, p+2 är primtalstvillingar (dvs p och p+2 är primtal), och p > 3, så gäller att 6 | p+1.

Bevis:
Eftersom p och p+2 är primtal >3, måste både p och p+2 vara udda. Därmed är p+1 jämnt. Alltså 2 | p+1.
På samma sätt kan varken p eller p+2 vara jämnt delbart med 3, men exakt ett av talen p, p+1 och p+2 måste vara jämnt delbart med 3. Alltså 3 | p+1.
Så, 2 | p+1 och 3 | p+1, så mgm(2, 3) = 6 | p+1.