Frågor om ekvationer och andra naturvetenskapliga uppgifter

Det blir enklare att derivera om vi utnyttjar att sin(2x) = 2 sin(x) cos(x):
y = (1/2) sin(2x)
y' = cos(2x)
Sedan är det bara att lösa den trigonometriska ekvationen cos(2x) = 0, vilket du skall kunna.


y' = 3x^2 e^(-2x) + x^3*(-2)e^(-2x) = x^2 (3 - 2x) e^(-2x)

Att tangenten är parallell med x-axeln innebär att derivatan är 0:
x^2 (3 - 2x) e^(-2x) = 0
x = 0 eller x = 3/2.

1) Bestäm f(x+h)-2f(x)+f(x-h)/h^2 om f(x)=8x^3-3

2) f(x)=2x^4-14x^3-26x^2+158x+168
Bestäm funktionens nollställen samt eventuella extremvärden med hjälp av grafisk lösning. Visa uträkningssätt.

1)

8(x+h)^3 - 3 - 2(8x^3 - 3) + 8(x-h)^3 - 3 / h^2

8(x^3 + 3hx^2 + 3xh^2 + h^3) - 3 -16x^3 - 6 + 8(x^3 - 3hx^2 + 3xh^2 - h^3) - 3 / h^2

8x^3 + 24hx^2 + 24xh^2 + 8h^3 - 24 - 16x^3 - 6 + 8x^3 - 24hx^2 + 24xh^2 - h^3 - 24 / h^2

48xh^2 - 54 / h^2

Jävligt mycket tecken att hålla ordning på här på skärmen så det finns ju risk för att jag har något fel, men det löste upp sig ganska fint där. Det känns kanske lite som att man hade önskat sig något h i andra termen där också så det gick att bryta ut h.

Stämmer det jag fick?

Eftersom den där kvoten är andraderivatans definition när h->0 så kommer inte 54/h^2 termen att spela någon roll. Den kommer ändå att gå emot 0.

Det är väldigt sant.. jag uppmärksammade inte det. Var för inne i Algebran

Några kemiuppgifter jag skulle vilja ha hjälp med:

Uppgift 1
Uppgift 2

Hoppas någon vänlig kemist kan hjälpa till.

???

jag orkar inte läsa på skärmen, men den där termen som jag fetmarkerat skulle kunna vara fel. Det är som sagt andra derivatan. Bevis se nedan:

OBS! Allt nedan när h går mot noll och f är kontinuerligt deriverbar för x.
f''(x) = [(f(x+h)-f(x))/h]' = {ta sedan bakåtderivatan med minustecken} = -[ f(x+h-h)-f(x+h)]/h^2 - [- (f(x-h)-f(x))/h^2] = [ f(x+h) -2f(x) + f(x-h)]/h^2


OBS 2! Kom ihåg att ALLTID testa att det verkligen stämmer med andraderivatan när du är klar.

f(x) = 8x^3 - 3
f'(x) = 24x^2
f'(x) = 48x

mannes beräkningar tycks alltså vara i princip korrekta.

f(x+h)-2f(x)+f(x-h)/h^2 = a + b + c

ger:

a = 8(x+h)^3-3 = 8(x^3+3x^2*h+3x*h^2+h^3)-3

b = -2(8x^3-3) = 6-16x^3

c = (8(x-h)^3-3)/h^2 = (8(x^3-3x^2*h+3x*h^2-h^3)-3)/h^2

a+b+c = f(x+h)-2f(x)+f(x-h)/h^2 = (8-16)x^3+(8*3)x^2*h+(8*3)x*h^2+(8)h^3+(8)x^3/h^2+(8*-3)x^2/h+(8*3)x+(8*-1)h-3/h^2+(-3+6)

Du har nog skrivit av uppgiften fel. [f(x+h)-2f(x)+f(x-h)]/h^2 ska det nog stå

[f(x+h)-2f(x)+f(x-h)]/h^2 = [a + b + c]/h^2

ger:

a = 8(x+h)^3-3 = 8(x^3+3x^2*h+3x*h^2+h^3)-3

b = -2(8x^3-3) = 6-16x^3

c = 8(x-h)^3-3 = 8(x^3-3x^2*h+3x*h^2-h^3)-3

a+b+c = (8-16+8)x^3+(8*3+8*-3)x^2*h+(8*3+8*3)x*h^2+(8-8)h^3+(-3+6+-3) = 48x*h^2

[a+b+c]/h^2=48x*h^2/h^2=48x

54/h^2 går ju förövrigt mot oändligheten när h går mot 0.

, självklart blev det fel. h^2 är nämnaren.

hjälper en snubbe med en tentamen..
en fråga dök upp

Peter har en kaviartub på
180ml
han klämmer ut 24cm kaviar varje dag..
efter 21 dagar är kaviaren slut..
hur stort är hålet?



att en cm motsvarar 0,36ml är jag med på..
men sen då?

Tänk dig att kaviaren trycks ut till en enda lång sträng. Denna sträng kommer att vara formad som en cylinder och volymen för en cylinder ges av basarean gånger höjden. Om hålets radie kallas r så är basarean A = πr², och höjden ges av längden på kaviarsträngen h = 21*24 cm = 504 cm. Eftersom volymen är känd, V = 180 ml = 180 cm³, så får du följande ekvation

180 cm³ = πr²*(504 cm)

och löser du ut radien fås

r = √(180/(π*504)) = 0.337 cm.

Diametern på öppningen är alltså 0.67 cm.

Egentligen är ju öppningen inte cirkulär utan formad som något slags stjärna och man kan därför välja att svara med hålets area, vilken är ännu enklare att beräkna

A = (180 cm³)/(504 cm) = 0.36 cm².

EDIT: Ändrade felskrivning.