Varför är de här vektorerna "linjärt beroende för alla värden på h"?

Jag har de här vektorerna i en övningsuppgift:

(1, 5, -3)
(-2, -9, 6)
(3, h, -9)

Min mattebok påstår att de här vektorerna är "linjärt beroende för alla värden på h" - men varför det?
Är det inte snarare nästan tvärtom, att alla värden på h utom 14 gör vektorerna linjärt oberoende?

Jag tolkar i alla fall det hela på följande sätt:

3 + (-2) = 1
h + (-9) = 5
-9 + 6 = -3

Jag tycker att det ser ut som om "h-vektorn" bara kan vara linjärt beroende av de andra vektorerna om h = 14...?

Det känns som om jag har missförstått någon detalj, men jag kan inte komma på det just nu.

Om A är en matris som har de tre vektorerna som kolonner så kan man visa att A är radekvivalent med en matris som har en rad med bara nollor. Därför finns en fri variabel och Ax=0 har fler lösningar än den triviala lösningen. Det innebär att dess kolonner är linjärt beroende för alla h.

Tror inte du riktigt greppat vad linjärt beroende och oberoende är

Kolla in det här:

http://math.stackexchange.com/questi...ly-independent

Är det helt främmande för dig så behöver du nog läsa om boken Hade linjär algebra förra året, var på en föreläsning och tog mig knappt igenom kursen, så jag kommer inte ihåg så värst mycket

Tack för svaret.
Ja, jag testade att köra en Echelon-förenkling och jag fick fram den här matrisen:

[1] -- [0] -- [2h - 27] -- [0]
[0] -- [1] -- [h - 15] --- [0]
[0] -- [0] ----- [0] ----- [0]

Det verkar ju uppenbarligen som om matrisen har fria variabler oberoende av värdet på h.

Tack för länken.
Hehe, jodå, jag hänger med på det som står på den där sidan, men ibland glömmer jag bort saker som jag "egentligen" kan mer eller mindre.
I just det här fallet hade jag tydligen glömt bort definitionen "The columns of a matrix A are linearly independent if and only if the equation Ax = 0 has only the trivial solution".

Att tre vektorer u, v, w är linjärt beroende innebär att det finns tre tal a, b, c (åtminstone en måste vara nollskild), så att a*u+b*v+c*w=0.
Vi kan se det geometriskt som att det finns ett plan genom origo som alla ligger i.

I ditt exempel innebär det att vi för varje givet h=1 kan hitta en sådan taltrippel, för h=1.8 kan hitta en sådan taltrippel etc. Taltripplarna kan vara olika för olika h-värden, det är helt ok.

Vi låter u = (1,5, -3), v=(-2, -9, 6) och w(h) = (3, h, -9). Eftersom u och v inte är multipler av varandra finns det ett unikt plan genom origo, u och v. Låt oss kalla det planet A.
De olika w vektorerna, bildar en linje i rummet. Vi vill visa att w-vektorer, dvs alla punkter på den ligger i A. Vi vill alltså visa att linjen (3, h, -9) ligger i A. Enklast är att göra detta i två steg
1. Visa att det det finns åtminstone ett h så att (3, h, -9) ligger i A.
2. Visa att (0, 1, 0) ligger i A.

Steg 1.
3u = (3,15,-9), så för h=15, ligger (3, h -9) i A.

Steg 2.
2u+v=(0,1,0)

Eftersom (3,15,-9) ligger i A, och (0,1,0) ligger i A, så ligger även (3,15,-9)+p(0,1,0)=(3,15+p,-9) i A, för alla tal p.
Om vi sätter p=h-15, så ser vi att (3,h,-9) ligger i planet för alla h. Vilket var vad vi ville visa. Vi är nu egentligen färdiga.

Men vi ska, för nöjes skull även konstruera a,b, c så att au+bv+cw=0.
(3, h, -9) = (3, 15 + (h-15) , -9) = (3, 15, -9) + (h-15) (0,1,0) = 3*u + (h-15) (2u+v) = 3*u + (h-15) * 2u + (h-15) *v = 3*u + 2hu -30u + (h-15)v = (2h-27)u + (h-15)v.

Så.... (2h-27)u + (h-15)v = w(h). Eller med andra ord: (2h-27)u + (h-15)v + (-1) w(h) = 0

EDIT: Men åh, du har koll på matriser. Jag som gjorde mitt bästa för att undvika dem...

Haha, jag har fått mycket trevlig och lärorik hjälp både från dig och de andra i den här tråden, det är jag mycket tacksam för.
Tack så mycket!