Behöver hjälp med att förenklar fractional powers

Tjena fellow mattenördar.

Jag sitter och pluggar inför tentor i augusti och är helt fast på ett par uppgifter som jag tycker borde vara enkla men där svaret blir något helt annat än vad jag får det till.

Kan ni hjälpa mig att förstå hur dessa följande ska lösas och varför det blir så då får ni en stor guldstjärna!

Det ska alltså bara förenklas så långt som möjligt. Skriver facit i spoiler. Notera att samtliga mina lösningar är alltså fel och jag förstår inte varför..

1.
6/(roten ur 7)

Detta får jag till att bli 6/roten ur 7. Eventuellt tänker jag att man skulle kunna kvadrera så det blir 36/7 men det skulle vara alldeles för enkelt. Nu när jag skrivit detta och tittat på facit lite extra undrar jag om tillvägagångssättet är så här: man bryter ut roten ur, så att det blir 6/7, sen multiplicerar med roten ur 7. Det stämmer med facit, så borde vara så. Men resterande får jag inte rätt på.

2.
(roten ur 3) /(4*(roten ur 2)

Detta får jag till att bli: (1/4)* roten ur(3/2) Vilket ju är fel.

3.
2/((roten ur 3)*(roten ur 8))

Mitt sätt att lösa denna: roten ur 3 *roten ur 8 =roten ur 24. Sedan kvadrerar jag båda sidor om bråkstrecket och får (2^2) /24 = alltså 4/24 = 1/6. Kollar man sedan facit ser man att jag är nära på rätt, men missar att multiplicera med roten ur 6. Hur kommer det sig att man ska även multiplciera med roten ur 6? Jag förstår inte alls det.

4.
4/(roten ur 2y)

Denna löser jag enligt: delar upp det i två bitar: (4/roten ur 2 ) * (1/roten ur y). Är det fel att göra så? Sedan kvadrerar jag och mitt svar blir då 8/y. Jag antar att jag inte kan kvadrera på det sättet jag gör, men jag förstår inte varför.


5.
x/(roten ur 2x)

Ingen aning här... Men första jag tänker är att få det till (X/2) *roten ur x. Men man kan kanske inte dela upp det på det sättet..

6.
x((roten ur x)+1) /(roten ur x)

Såhär går jag tillväga på denna: Löser ut översta parentesen, så att det blir X*roten ur x , vilket blir X^1 + X^0,5 = X^1,5 . (sen +X). Så den övre delen av bråket blir: (X^(1,5) +X )/X^0,5 . Sen tar jag helt enkelt den undre delen och flyttar upp och skriver det enligt X^(-0,5). Sen blir det alltså: X^(1,5) +X +X^(-0,5), vilket blir X^(1) +X , alltså X+X eller 2X.

Som ni ser är dessa tal av samma karaktär. Jag behöver förstå hur jag ska lösa dem och varför mitt tänk kring lösningen är fel och hur jag ska tänka för att få det rätt.

Facit :

Oerhört tacksam för svar och hjälp!

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Enligt ditt facit anses ett uttryck inte förenklat om det finns rottecken under bråkstrecket som man kan få bort. Någon kan kanske förklara bakgrunden till det?

Är det något fel på min dator, eller besvarar du frågor från '2014-07-02, 15:47'?

"Oerhört tacksam" skrev han ju. Det verkade angeläget.

Tillägg:
Du kanske kan svara på min fråga i slutet av mitt inlägg? Den är dagsfärsk i 9 minuter till.

Visserligen, men det var 5 år sedan.

Personligen anser jag inte det är ett 'måste' att eliminera rottecken i nämnaren. Det verkar mest förekomma i lägre studier i matematik. Det grundar sig troligen på att det är enklare, för nybörjare, att räkna då, t.ex.
\[
\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}
=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}
=0
\]

I Ma3(?) och uppåt ser jag inget fel i att t.ex. skriva \(e^{i\, \pi/4}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\) eller \(\tan(x)=1/\sqrt{3}\). I de sammanhangen blir det mycket enklare räkningar än om man börjar 'förenkla bort' rottecken i nämnaren och på så sätt få 'större' och mera komplexa uttryck än vad de behöver vara. Det förekommer ofta i universitets- och högskolematematik att rottecken står i nämnaren.

Det kan vara lättare att se den ungefärliga storleken utan räknare om alla rottecken står över bråkstrecket. T ex
√2/2 = ca 1.4/2 = ca 0.7.