Kombinatorikuppgift

Hej, känner mig lite osäker på kombinatorik och min kurslitteratur förklarar det inte särskilt genomförligt så jag skulle uppskatta om någon tog en titt på uppgiften och mina lösningar för att kolla om jag tänker rätt.

notera: (n c k) = (n choose k)

En grupp om 80 elever skriver en tentamen där det på förhand är bestämt att 20 st ska få betyg 5, 20 st ska få betyg 4 och resterande 40 ska få betyg 3.

a) På hur många sätt kan gruppen betygsättas?

Jag fick det till (80 c 20)*(60 c 20)*(40 c 40) = 1.48*10^34 sätt.

b) Eleverna A, B och C skriver tentamen. På hur många sätt kan gruppen betygsättas så att varken A, B eller C får samma betyg?

Här bör det väl bli 3!*(80 c 1)*(60 c 1)*(40 c 1) = 3!*80*60*40? Eller tänker jag fel..

c) På hur många sätt kan gruppen betygsättas så att minst en av A, B och C får betyg 4 och minst en dem får betyg 3?

Sitter fast på denna.

d) På hur många sätt kan gruppen betygsättas så att ingen av A, B eller C får betyg 4?

Antingen får alla 3, alla 5 eller så får två det ena och den tredje det andra (6 kombinationer av det sistnämnda utfallet). Jag får det till något liknande: (80 c 3)(40 c 20) + (80 c 3)*(60 c 20) + 3*(80 c 2)(60 c 1) + 3*(80 c 2)(40 c 1).

Det har nog tänkt rätt, sånär som på att du inte kan använda "=" eftersom du avrundat. Dessutom beskriver du inte hur du resonerat, varför det blir svårt att säga att du tänkt rätt.
Återigen beskriver du inte ditt tankesätt, som är mycket mer intressant än ditt svar. Du kommer hursom inte fram till rätt svar. Tänk snarare att du plockar ut A, B och C från klassen. Du kan nu beräkna på hur många sätt resterande 77 kan betygsättas och sedan multiplicera detta med de 3! sätt du kan betygsätta A, B, C.

Fixera dessa två, och räkna ut antalet sätt att betygsätta resten. Multiplicera in på hur många sätt du kan välja vilka två som ska få vilka betyg från de tre.

Jag ser inte hur uttrycket du skriver skulle beskriva ditt resonemang.

Okej, så om en ur varje "betygsgrupp" plockas ur kan 19 st av de resterande 77 i gruppen få betyg 5, 19 st av 77-19 kan få betyg 4 och resterande 77-19-19 får betyg 3. Jag får det då till:
(77 c 19)*((77-19) c 19)*((77-19-19) c (77-19-19))*3! = (77 c 19)*(58 c 19)*(39 c 39)*3!

edit: glömde multiplicera med antal permutationer

Skulle d) kunna lösas med liknande resonemang som i b) där man "plockar ur" A, B och C ur gruppen?

Det ser rätt ut!


Det kan du absolut! Du får några fler fall att tänka på, men varje enskilt fall beräknas enkelt.

Möjliga utfall i d) blir då antingen att alla får 3, alla får 5, två får 5 och en får 3 samt två får 3 och en får 5. De två sistnämnda utfallen har 3 permutationer vardera.

A, B, C får betyg 3: (77 c 37)*(40 c 20)*(20 c 20) kombinationer
A, B, C får betyg 5: (77 c 17)*(60 c 40)*(20 c 20) kombinationer
Två får betyg 3, en får betyg 5: 3*(77 c 38)*(39 c 19)*(20 c 20) kombinationer
Två får betyg 5, en får betyg 5: 3*(77 c 18)*(59 c 39)*(20 c 20) kombinationer

Summan av dessa blir då totalt antal kombinationer.

Ska göra ett nytt försök på c) senare idag.

Det ser rätt ut. Jag inser dessutom att ännu enklare sätt att lösa det hela hade varit att räkna på hur många sätt det blir så att någon får en 4:a och sedan dra ifrån detta från antalet från a).

Skissade lite på detta och fick fram:

Alla får 4 (1 utfall): (77 c 17)*(60 c 40)*(20 c 20)
Två får 4 (6 utfall): 3!*(77 c 18)*(59 c 39)*(20 c 20)

I fallet då en får 4 och resten 3 eller 4 har vi 12 utfall varav 6 utfall där de andra två får samma betyg och 6 utfall där de andra två får olika betyg (ingen får samma betyg = b uppgiften).

En får 4 (12 utfall): 3!*(77 c 19)*(58 c 38)*(20 c 20) + 3!*(77 c 19)*(58 c 19)*(39 c 39)

Summera dessa och subtrahera från a) för totalt antal kombinationer.

Vet inte riktigt om det var såhär du menade, men det verkar inte vara särskilt mycket enklare eller svårare än den andra metoden tycker jag själv. Hursomhelst, tack för hjälpen! Återkommer med ett försök på c) så småningom.