Jobbig Diff-ekvation

Jag har fastnat på en jobbig diff-ekvation och hoppas att ni skulle kunna hjälpa mig :/

Ekvationen är:
f''' = A*f' - 12*(f')^3 + B

Jag har försökt att börja med att lösa ut för f', och sedan integrera det för att få svaret, men det har inte visat sig speciellt lätt att få ut f'... Det jag kan säga om lösningen är att den skall gå mot noll, då x går mot +- oändligheten.

Tack för hjälp!

Borde du inte kunna använda laplacetransform? Brukar vara lämpat för att lösa såna jobbiga diffar

Jag har ingen information om funktionsvärdet i origo, så Laplace fungerar ju inte. Skulle kanske vara Fouriertransform isf, men (f')^3-termen blir rätt jobbig då...

Varifrån har du fått den där? Den är varken linjär eller separabel (om det inte går att göra någon substitution).

För att komma igång går det att multiplicera båda sidor med f'' och integrera via kjedjeregeln, då fås f'' på vänstersidan och f' på högersidan.

Du kanske kan satsa på att ta fram en sluten men dock approximativ lösning med pertubationstionsteori.

Föreläsaren går in på diffar i föreläsning två:

https://www.youtube.com/watch?v=tV-xIhP7VU8

Med villkoret att f -> 0 för x-> inf så antar jag att alla derivator av f också går mot noll när t -> 0
gör substitutionen f' = g
g'' = Ag -12 g + B
multiplicera med g' på båda sidor
g''g' = Agg' - 12 g^3g' + Bg'
antiderivering ger då:
1/2 g'^2 = A/2 g^2 - 3g^4 + Bg
här antogs att g och g' -> 0 i oändligheten; ingen integrationskonstant

dvs
g' = sqrt( Ag^2 - 6g^4 + 2Bg)

nu har du en separabel diffekvation som ser ut enligt
dg/sqrt( Ag^2 - 6g^4 + 2Bg) = dt

Det är en icke-linjär vågekvation där jag söker efter solitonlösningar.


Tack, skall kolla upp det


Tack! Jag märkte inte att jag kunde integrera vidare (jag har redan integrerat ett steg på liknande sätt för att få fram ekvationen i trådstarten). Det där ser lovande ut, enligt wolframalpha blir lösningen på formen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i...%28x%29%5E2%29

Problemet är bara att lösningen är imaginär, men den skall var reell. Men iaf, om vi tar bort i:et och fortsätter så blir då integrationen av detta:
http://www.wolframalpha.com/input/?i...th%28A*x%29+dx

Som ger en plot (y är tidsvariabeln):
http://www.wolframalpha.com/input/?i...28x-y%29%29%29

Detta ser helt klart lovande ut; det blir en stabil våg som förflyttar sig (=soliton). Problemet är att den går mot oändligheten i höjd, men det kan ju vara en följd av de approximationer som har använts (som ledde fram till diff-ekvationen)

Iaf, tack för hjälpen

EDIT: Btw jag har sattit B=0 eftersom det är en tidigare integrationskonstant som måste vara noll, för att kravet att lösningarna är lokala blir uppfyllt (f,f',f'',.. -> 0 då x-> +-inf). Det B jag använde i wolframalpha är en av de andra konstanterna

lösningen för g, med B=0, som sen ska integreras igen för f' = g blir för mig:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=dg%2Fdt+%3D+sqrt%28A-6g^2%29g

förstår inte vad du stoppat in där. Reellt så länge A > 0 och g -> 0 för stora t.

hela lösningen

http://www.wolframalpha.com/input/?i=d^2f%2Fdt^2+%3D+sqrt%28A-6%28df%2Fdt%29^2%29df%2Fdt

också den reell. jobbig konstant att behöva sätta till -sqrt(3/2)*pi/2.

Den enda skillnaden är att du skrev om ekvationen så att g' är ensam, medan jag skrev om den så att g är ensam... lustigt :s