[MA E] Beräkning arean av en ellips

Hej!

Jag har tokfastnat på en uppgift där jag ska räkna ut arean av en ellips. Jag har googlat men har svårt att förstå alla steg. Om någon vänlig själ har lust att hjälpa mig med uträkningen och förklara alla steg vore det mycket tacksamt.

Bild på uppgiften: http://www.imghack.se/61060

x²/a²+y²/b²=1

y som funktion av x i området y>=0 ges av

y=b*sqrt(1-x²/a²)

Arean är

A=4*integral från 0 till a (b*sqrt(1-x²/a²))dx

Nu kan man göra substitutionen t=x/a och visa att

A=4ba*integral från 0 till 1 sqrt(1-t²)dt

Men integral från 0 till 1 sqrt(1-t²)dt är en fjärdedel av enhetscirkelns area, som är pi/4. Alltså är

A=4ba*pi/4=ba*pi

Volymen kan beräknas med skivintegrering. Cirkulära skivor med radien x används. Deras area som funktion av y är

A(y)=pi*x²=pi*a²(1-y²/b²)

V=2*integral från 0 till b A(y)dy=...=4pi*a²*b/3

Wikipedia har en snygg formel för ytan av en ellips, och om man roterar en ellips runt en axel får man en ellipsoid, och Wikipedia har en snygg formel för volymen av en sådan. Båda formlerna har en snygg likhet med formlerna för ytan av en cirkel respektive volymen av ett klot.

Tack! Jag fastnar dock på andra, där jag ska räkna ut volymen. Hur hittar jag en primitiv till formeln?

A(y)=pi*x²=pi*a²(1-y²/b²)

V=2*integral från 0 till b A(y)dy=2pi*a²*integral från 0 till b (1-y²/b²)dy=

2pi*a²*[y-y³/3b²](0 till b)

Tack! Får inte riktigt ihop det, men ska pyssla lite med det i eftermiddag så får vi se vart någonstans jag kommer.