Intuitiv förståelse för Newtons avsvalningslag...?

Skulle ni kunna hjälpa mig att förstå Newtons avsvalningslag på en djupare nivå, alltså vilka resonemang som den baseras på?
Det som jag förstår är att någonting som har en högre temperatur än omgivningen ger ifrån sig termisk energi till omgivningen, men problemet är ju att man inte bara kan använda den vanliga formeln m1*c1*ΔT1 = m2*c2*ΔT2 eftersom omgivningen hela tiden har en konstant temperatur, och det gör ju i så fall att ΔT2 = 0, och då blir formeln värdelös.
Så hur ska man resonera här?
Finns det något intuitivt sätt att föreställa sig scenariot, så att man kan härleda formeln enbart utifrån logiska resonemang?

Säg att vi har en kopp kaffe med en initialtemperatur T_0 som vi placerar i en omgivning med temperaturen T_e, temperaturskillnaden mellan kaffet och omgivning blir då y(t) = T(t) - T_e, där T(t) är kaffets temperatur vid tiden t. Funktionen T(t) har randvillkoren T(0) = T_0 och T(inf) = T_e.

Och nu kommer resonemanget som allt baseras på, anta att dy/dt = -ky, eller
dT/dt - dT_e/dt = -k(T(t) - T_e), dT_e/dt = 0 och faller bort. Vi antar alltså att temperaturförändringen hos kaffekoppen är proportionell mot temperaturskillnaden mellan kaffet och omgivningen vid tiden t.

dy/dt = -ky, löser vi denna får vi att
y(t) = Cexp(-kt) eller T(t) = T_e + Cexp(-kt), sätter vi in randvillkoren får vi att C = T_0 - T_e.

King, tack så mycket för förklaringen.